楼教主男人八题(第二题)

今天来搞1741 Tree

男人进度：2/8

题目链接

http://poj.org/problem?id=1741

题目描述

Give a tree with $n$ vertices,each edge has a length(positive integer less than 1001).

The defination of $dist(u,v)$ is The min distance between node $u$ and $v$.

Give an integer $k$,for every pair ($u$,$v$) of vertices is called valid if and only if $dist(u,v)$ not exceed $k$.

Write a program that will count how many pairs which are valid for a given tree.

输入

The input contains several test cases.

The first line of each test case contains two integers $n$, $k$. (n<=10000) The following $n-1$ lines each contains three integers $u$,$v$,$l$, which means there is an edge between node $u$ and $v$ of length $l$.

The last test case is followed by two zeros.

输出

For each test case output the answer on a single line.

样例输入

5 4
1 2 3
1 3 1
1 4 2
3 5 1
0 0

样例输出

8

样例解释

样例给出的树如上图示，共有8条符合要求的边：

• 1->2，距离为 3
• 1->3，距离为 1
• 1->4，距离为 2
• 1->3->5，距离为 1+1=2
• 2->1->3，距离为 3+1=4
• 3->5，距离为 1
• 3->1->4，距离为 1+2=3
• 4->1->3->5，距离为 2+1+1=4

题解

知识点：树的重心

因为题目给出的是无向边，那么把哪个节点当作根节点都无所谓了。那么不妨设有一棵以节点1为根的树，长成下面这个样子：

仔细观察，我们可以依据是否包含根节点，把路径分为两类：

• 包含根节点(比如 1->2，4->1->5)
• 不包含根节点(比如 2->3, 5->6)

不难发现，不包含的根节点的路径，其所包含的节点必然都来自于同一棵子树。这就很符合递归的要求了，为了描述清楚，我们不妨先设：

• 以节点$i$ 为根的子树的合法路径总数为 $t(i)$
• 以节点$i$ 为根的子树的包含节点$i$的合法路径总数为 $f(i)$

$t(i)$ 可以递归的定义为:
$$t(i)=\{\begin{array}{l}0,i是叶子\\ {\sum }_{s是i的儿子}t(s)+f(i),i不是叶子\end{array}$$

问题简化了，答案可表示为$t(1)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$。那么如何求解 $f(i)$ 咧？

对于每个节点 $i$，做对应子树遍历，计算出该子树中每个节点和节点 $i$ 的距离。

比如有上面这样一棵树，为了方便，我们不妨设边的权值都为 1。那么每棵子树上的节点到对应根节点的距离如下图示：

需要注意的是，真实场景中的权值并不相等，若想得到关于距离升序的数组，不得不进行一次排序。

不管怎么说，现在我们得到 $n$ 个距离的数组。我们不妨设距离的限制为 $K$。

现在对于每个数组，进行一次双指针遍历操作：

• 首先指针 $l$ 指向第一个元素，指针 $r$ 指向最后一个元素，累加器 sum = 0。
• 接着下述两个步骤，直到 $l=r$
• 如果 $l$