【每日一题Day309】LC823带因子的二叉树 | dp

带因子的二叉树【LC823】

给出一个含有不重复整数元素的数组 arr ，每个整数 arr[i] 均大于 1。

用这些整数来构建二叉树，每个整数可以使用任意次数。其中：每个非叶结点的值应等于它的两个子结点的值的乘积。

满足条件的二叉树一共有多少个？答案可能很大，返回 对 109 + 7 取余 的结果。

• 思路

  • **寻找子问题：**假设$a$和$b$为$x$的因子，并都存在在数组arr中，根据乘法原理，以$x$为根节点的合法子树的个数，为以$a$为根节点的合法子树的个数和以$b$为根节点的合法子树的个数的乘积。该问题是一个重复子问题，因此可以使用dp解决

  • 状态定义：$dp[i]$为以$arr[i]$为根节点的合法子树的个数

  • 状态转移：

    • 首先由于一个数的因子一定小于自身，因此需要从小到大处理每个数，故而对arr进行升序排序

    • 为了快速判断某个数是否在arr中及其下标，因此使用哈希表记录每个元素的值及其下标

    • 枚举每个数$arr[i]$，在$j\in [0,i)$范围内，找到其所有的因子对【顺序不同为不同的树】

      满足$arr[i]\%arr[j]==0$，并且$arr[i]/arr[j]$在数组中
      $$dp[i]=dp[i]+dp[j]\ast dp[index.get(arr[i]/arr[j])]$$

  • **状态初始化：**每棵树只存在根节点，因此$dp[i]$初始化为1

• 实现

  class Solution {
      public static final int MOD = (int)(1e9 + 7);
      public int numFactoredBinaryTrees(int[] arr) {
          Arrays.sort(arr);
          long res = 0L;
          int n = arr.length;
          long[] dp = new long[n];
          Map<Integer,Integer> index = new HashMap<>();
          for (int i = 0; i < n; i++){
              index.put(arr[i], i);
          }
          Arrays.fill(dp, 1L);
          for (int i = 0; i < n; i++){
              for (int j = 0; j < i; j++){
                  if (arr[i] % arr[j] == 0 && index.containsKey(arr[i] / arr[j])){
                      dp[i] += dp[j] * dp[index.get(arr[i] / arr[j])] ;
                  }
              }
              res += dp[i];
          }
          return (int)(res % MOD) ;
  
  
      }
  }
  

  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(n^2)$
    • 空间复杂度：$O(n)$