【每日一题Day249】LC1186删除一次得到子数组最大和

该问题通过动态规划解决，定义dp[i+1][0/1]表示以元素nums[i]结尾的子数组中没有删除过/删除过元素的最大和。状态转移方程为：dp[i+1][0]=max(dp[i][0]+arr[i],dp[i][1])，dp[i+1][1]=max(dp[i][0],dp[i][1]+arr[i])。最终返回dp数组中的最大值。有空间优化方案将空间复杂度降低到O(1)。

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删除一次得到子数组最大和【LC1186】

给你一个整数数组，返回它的某个非空子数组（连续元素）在执行一次可选的删除操作后，所能得到的最大元素总和。换句话说，你可以从原数组中选出一个子数组，并可以决定要不要从中删除一个元素（只能删一次哦），（删除后）子数组中至少应当有一个元素，然后该子数组（剩下）的元素总和是所有子数组之中最大的。

注意，删除一个元素后，子数组 不能为空。

思路

每个元素可以删除或者不删除，当没有删除过元素时，该元素才可以被删除，那么还需要记录是否删除过元素。故定义状态dp[i+1][0/1]记录以元素nums[i]为结尾的子数组中，没有删除过/删除数字的情况下的最大和
- 状态转移：
  - 当前没有删除过元素：保留或不保留左边数组
    $d p [i + 1] [0] = d p [i] [0] + a rr [i]$
  - 当前删除过元素：删除当前元素或者之前删除过元素
    $d p [i + 1] [1] = ma x (d p [i] [0], d p [i] [1] + a rr [i])$

实现

class Solution {
    public int maximumSum(int[] arr) {
        // 枚举删除的元素，找到其左边arr[l，i)和右边arr(i,r]最大的连续子数组和【超时】
        int n = arr.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][2];// 0没有删除 1已经删除
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        dp[0][0] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; i++){
            dp[i + 1][0] = Math.max(dp[i][0], 0) + arr[i];
            dp[i + 1][1] = Math.max(dp[i][0], dp[i][1] + arr[i]);
            res= Math.max(res, Math.max(dp[i + 1][0], dp[i + 1][1]));
        }
        return res;
    }
}

复杂度
- 时间复杂度： $O(n)\mathcal{O}(n)$
- 空间复杂度： $O(n)\mathcal{O}(n)$

空间优化

class Solution {
    public int maximumSum(int[] arr) {
        // 枚举删除的元素，找到其左边arr[l，i)和右边arr(i,r]最大的连续子数组和【超时】
        int n = arr.length;
        int notDel = Integer.MIN_VALUE;
        int del = 0;       
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; i++){
            del = Math.max(notDel, del + arr[i]);
            notDel = Math.max(notDel, 0) + arr[i];      
            res= Math.max(res, Math.max(notDel, del));
        }
        return res;
    }
}