【每日一题Day239】LC1494并行课程 II | 状态压缩 dp 位运算 子集

并行课程 II【LC1494】

给你一个整数 n 表示某所大学里课程的数目，编号为 1 到 n ，数组 relations 中， relations[i] = [xi, yi] 表示一个先修课的关系，也就是课程 xi 必须在课程 yi 之前上。同时你还有一个整数 k 。

在一个学期中，你 最多 可以同时上 k 门课，前提是这些课的先修课在之前的学期里已经上过了。

请你返回上完所有课最少需要多少个学期。题目保证一定存在一种上完所有课的方式。

今天的也好难呀

• 思路：拓扑排序【错误】

  第一眼觉得是用拓扑排序做，将入度为0的节点放在队列中，队列中的所有节点都可以在同一学期上，因此把队列中的课程全部上完需要的学期数$\lceil size/k\rceil$。但是WA了，原因该做法不是最优的，因为队列中的元素的后置课程的前置课程还没有全部完成，那么其的前置课程可以延期至下一轮再上

• 思路：状态压缩dp

  • 子问题：

    • 全集为$U$，我们需要解决的问题为上完所有的课程，最少需要多少个学期。
    • 假设已经上了几门课程后，剩余的课程对应的集合为$A$，那么问题转变为上完集合$A$中所有的课程，最少需要多少个学期
    • 这是一个和原问题相似的子问题，因此我们可以用递归/dp解决。

  • 递归函数定义：定义$dfs(i)$为上完集合$i$所有的课程，最少需要多少个学期，此时补集$C_{u}i$中的所有课程已经上完。$dfs(U)$即为答案。

  • 状态转移：

    由于每个学期最多上$k$门课，我们可以枚举$i$的大小不超过$k$的非空子集$j$（$0<|j|\le k$）。

    优化：$j$中的每门课程的先修课一定在补集$C_{u}i$中，因此可以求出先修课在补集$C_{u}i$中的课程集合，记为$i_1$。那么我们可以枚举$i_1$的补集$j$，剩余课程为$i\setminus j$，那么可以得到转态转移方程为
    $$dfs(i)=dfs(i\setminus j)+1$$

  • 递归边界

    $i=0$时，表示为空集，返回0

  • 记忆化：递归过程有重复调用，因此可以记录状态，当一个状态不是第一次遇到时，直接返回保存的结果

  • 状态压缩/位运算：由于n小于等于15，因此可以使用状态压缩mask表示该课程是否在当前选课表中，mask的第$i$位表示当前选择第$i$门课。

  • 位运算：

    • 全集：当总共有15个状态时的全集，即集合大小为15，每位均为1

      int size = 15;
      int ALL = (1 < < size) - 1;
      

    • 补集：ALL^A

      集合A的补集

    • 差集：B是A的子集，A^B即为集合A-集合B剩余的元素

    • 判断B是否是A的子集：(A & B) == B

      如果一个集合B和另一个集合A的交集为它自身，那么B是A的子集

    • 枚举A的子集

      for (int j = A; j > 0; j = (j - 1) & A){
          
      }
      

    • 计算状态A中1的个数

      int cnt = 0;
      for (int i = 0; i < size; i++){
      	if (A & (1 << i)) cnt++;
      }
      

• 实现

  class Solution {
      public int minNumberOfSemesters(int n, int[][] relations, int k) {
          var pre1 = new int[n];
          for (var r : relations)
              pre1[r[1] - 1] |= 1 << (r[0] - 1); // r[1] 的先修课程集合，下标改从 0 开始
  
          int u = (1 << n) - 1; // 全集
          var f = new int[1 << n];
          f[0] = 0;
          for (int i = 1; i < 1 << n; i++) {
              int i1 = 0, ci = u ^ i; // i 的补集
              for (int j = 0; j < n; j++)
                  if ((i >> j & 1) > 0 && (pre1[j] | ci) == ci) // pre1[j] 在 i 的补集中，可以学（否则这学期一定不能学）
                      i1 |= 1 << j;
              if (Integer.bitCount(i1) <= k) { // 如果个数小于 k，则可以全部学习，不再枚举子集
                  f[i] = f[i ^ i1] + 1;
                  continue;
              }
              f[i] = Integer.MAX_VALUE;
              for (int j = i1; j > 0; j = (j - 1) & i1) // 枚举 i1 的子集 j
                  if (Integer.bitCount(j) == k)
                      f[i] = Math.min(f[i], f[i ^ j] + 1);
          }
          return f[u];
      }
  }
  
  作者：灵茶山艾府
  链接：https://leetcode.cn/problems/parallel-courses-ii/solutions/2310878/zi-ji-zhuang-ya-dpcong-ji-yi-hua-sou-suo-oxwd/
  来源：力扣（LeetCode）
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