【每日一题Day161】LC1641统计字典序元音字符串的数目 | 数位dp

统计字典序元音字符串的数目【LC1641】

给你一个整数 n，请返回长度为 n 、仅由元音 (a, e, i, o, u) 组成且按 字典序排列 的字符串数量。

字符串 s 按 字典序排列 需要满足：对于所有有效的 i，s[i] 在字母表中的位置总是与 s[i+1] 相同或在 s[i+1] 之前。

• 思路

  • 首先字符串只能包含5个元音字母，并且必须按照字典序排列，此时字母是什么其实不重要，重要的是上一个构造的字母是什么，接下来的字母必须在其之后的字母中选择（包括其）。因此在构造时只需记录上一个字符是第一个字符即可

  • 于是可以使用数位dp，定义 $f(n,i,j)$ 表示字符串的第上一位为$j$时，从左往右构造第 $i$ 位之后的字符串个数，其余参数的含义为：

    • $i$表示当前构造至从左往右第$i$位
    • $j$表示第$i-1$位构造的字符 $j$

    那么 $f(n,0,0)$ 即为最终结果

• 实现

  class Solution {
      int[][] dp;
      public int countVowelStrings(int n) {
          dp = new int[n + 1][5];
          for (int i = 0; i <= n; i++){
              Arrays.fill(dp[i], -1);
          }
          return dfs(n, 0, 0);
  
      }
      public int dfs(int n, int index, int ch){
          if (index == n) return 1;
          if (dp[index][ch] >= 0) return dp[index][ch]; 
          int res = 0;
          for (int i = ch; i < 5; i++){
              res += dfs(n, index + 1, i);
          }
          if (dp[index][ch] == -1){
              dp[index][ch] = res;
          }
          return res;
  
      }
  }
  

  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(n{C}^2)$，$C$为字符集合
    • 空间复杂度：$O(nC)$，即为动态规划中存储状态需要使用的空间。

• 转为动态规划

  $dp[i][j]$为当前已经选了$i$个字母，且最后一个字母是$j$的方案数，那么第$i+1$个字母选$j$的方案数为
  $$dp[i][j]=\sum _{j=0}^{j}dp[i-1][j]$$

  class Solution {
      public int countVowelStrings(int n) {
          int[] f = {1, 1, 1, 1, 1};
          for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
              int s = 0;
              for (int j = 0; j < 5; ++j) {
                  s += f[j];
                  f[j] = s;
              }
          }
          return Arrays.stream(f).sum();
      }
  }
  
  作者：ylb
  链接：https://leetcode.cn/problems/count-sorted-vowel-strings/solutions/2196576/python3javacgo-yi-ti-shuang-jie-ji-yi-hu-vh2j/
  来源：力扣（LeetCode）
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  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(nC)$，$C$为字符集合
    • 空间复杂度：$O(C)$，即为动态规划中存储状态需要使用的空间。