【每日一题Day67】LC1739放置盒子 | 找规律+贪心 二分查找

放置盒子【LC1739】

有一个立方体房间，其长度、宽度和高度都等于 n 个单位。请你在房间里放置 n 个盒子，每个盒子都是一个单位边长的立方体。放置规则如下：

• 你可以把盒子放在地板上的任何地方。
• 如果盒子 x 需要放置在盒子 y 的顶部，那么盒子 y 竖直的四个侧面都 必须 与另一个盒子或墙相邻。

给你一个整数 n ，返回接触地面的盒子的 最少 可能数量*。*

只能找找规律 求和肯定算不出来

找规律+贪心

• 思路：

  • 首先贪心放置盒子使接触地面的盒子数量最小的情况下，放置更多的盒子
    • 局部最优：每次放置盒子优先放置在顶部，顶部不能放置再放在底部
    • 全局最优：接触地面的盒子数量最小的情况下，放置最多的盒子
  • 按照此种方式放置盒子的话，每层能够放置的盒子存在特殊规律：
    • 第$i$层最多可以增加$i$个接触地面的盒子，能够增加的盒子个数为$\frac{i\ast (i+1)}{2}$
    • 底部每增加第$k$个盒子时，一共可以增加的盒子数量为$k$【底部+上方一共可以增加的】
  • 因此首先将前$i-1$填满，然后求出还需要在底部放置$j$个盒子，再可以填充$n$个盒子

• 实现

  • 首先使用$cur$表示第$i$层最多可以增加多少个可放置的盒子，如果$n>cur$，那么$n$递减$cur$，并且$cur$每次递增$i$个
  • 然后第需要在添加几个接触地面的盒子，才能够放置$n$个盒子

  class Solution {
      public int minimumBoxes(int n) {
          int i = 1, cur = 1;
          while (cur < n){
              n -= cur;
              i++;
              cur += i;
          }
          int j = 1;
          while (n - j > 0 ){
              n -= j;
              j++;
          }
          return i * (i - 1) / 2 + j;
      }
  }
  

  • 复杂度
    • 时间复杂度：$O(\sqrt[3]{n})$，需要遍历每一层计算盒子数，层数 $i$与 $n$ 的关系是$i=O(\sqrt[3]{n})$
    • 空间复杂度：$O(1)$

二分查找

• 思路：使用二分查找法搜索需要放置至第$i$层（前$i-1$层铺满），还需要放置$j$个盒子至地面才可以放置$n$个盒子

  • 在第$i$层放$j$个放置地面的盒子，所增加的盒子总数为
    $$\begin{gathered} f(j)=\frac{j\ast (j+1)}{2} \\ j\le i \end{gathered}$$

  • 放满前$i$层的盒子总数为
    $$\begin{gathered} g(i)=\sum _{n=1}^{i}f(n)=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^i(n^2+n) \\ =\frac{1}{2}\sum _{n=1}^i[\frac{n\ast (n+1)\ast (2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}] \\ =\sum _{n=1}^i\frac{n\ast (n+1)\ast (n+2)}{6} \end{gathered}$$

  • 以上两个函数均具有单调性，因此可以使用二分查找进行查找

• 实现

  class Solution {
      public int minimumBoxes(int n) {
          int i = 0, j = 0;
          int low = 1, high = Math.min(n, 100000);
          while (low < high) {
              int mid = (low + high) >> 1;
              long sum = (long) mid * (mid + 1) * (mid + 2) / 6;
              if (sum >= n) {
                  high = mid;
              } else {
                  low = mid + 1;
              }
          }
          i = low;
          n -= (long) (i - 1) * i * (i + 1) / 6;
          low = 1;
          high = i;
          while (low < high) {
              int mid = (low + high) >> 1;
              long sum = (long) mid * (mid + 1) / 2;
              if (sum >= n) {
                  high = mid;
              } else {
                  low = mid + 1;
              }
          }
          j = low;
          return (i - 1) * i / 2 + j;
      }
  }
  
  作者：力扣官方题解
  链接：https://leetcode.cn/problems/building-boxes/solutions/2030450/fang-zhi-he-zi-by-leetcode-solution-7ah2/
  来源：力扣（LeetCode）
  著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
  

  • 复杂度
    • 时间复杂度：$O(log(n))$
    • 空间复杂度：$O(1)$