【每日一题Day29】LC775全局倒置与局部倒置 | 树状数组 数学

全局倒置与局部倒置【LC775】

给你一个长度为 n 的整数数组 nums ，表示由范围 [0, n - 1] 内所有整数组成的一个排列。

全局倒置 的数目等于满足下述条件不同下标对 (i, j) 的数目：

• 0 <= i < j < n
• nums[i] > nums[j]

局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目：

• 0 <= i < n - 1
• nums[i] > nums[i + 1]

当数组 nums 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时，返回 true ；否则，返回 false

You are given an integer array nums of length n which represents a permutation of all the integers in the range [0, n - 1].

The number of global inversions is the number of the different pairs (i, j) where:

• 0 <= i < j < n
• nums[i] > nums[j]

The number of local inversions is the number of indices i where:

• 0 <= i < n - 1
• nums[i] > nums[i + 1]

Return true if the number of global inversions is equal to the number of local inversions.

树状数组看的脑壳疼…

暴力

• 思路：暴力… 超时

  class Solution {
      public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
          int global = 0;
          int local = 0;
          int len = nums.length;
          for (int i = 0; i < len - 1; i++){
              if (nums[i] > nums[i+1]){
                  local++;
              }
              for (int j = i + 1; j < len; j++){
                  if (nums[i] > nums[j]){
                      global++;
                  }
              }
          }
          return global == local;
      }
  }
  

• 复杂度

  • 时间复杂度：$O(n^2)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

数学

• 思路：局部倒置一定是全局倒置，如果除了局部倒置时，还存在其他倒置，那么返回false

• 实现：记录前缀数组nums[0,i-2]的最大值，如果nums[i]<max，那么返回false

• 代码

  class Solution {
      public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
          int max = 0;
          for (int i = 2; i < nums.length; i++){
              if (nums[i] < max){
                  return false;
              }
              max = Math.max(max,nums[i-1]);
          }
          return true;
      }
  }
  

• 复杂度

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

树状数组

• 思路：对于nums[i]，其左边比它大的nums[j]的个数，即为以nums[i]为右端点的全局倒置的数量

• 实现：使用树状数组统计左边比nums[i]大的个数

  • tr[i]代表当前已经遍历到的数组数值小于等于i的总数量

• 代码

  class Solution {
      int n;
      int[] tr;
      int lowbit(int x) {
          return x & -x;
      }
      void add(int x) {
          for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i]++;
      }
      int query(int x) {
          int ans = 0;
          for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
          return ans;
      }
      public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
          n = nums.length;
          tr = new int[n + 10];
          add(nums[0] + 1);// 更新tr数组下标0-nums[0]+1 使其数量+1
          int a = 0, b = 0;
          for (int i = 1; i < n; i++) {
              a += query(n) - query(nums[i] + 1);
              // query(n)为当前加入的数的总数，即等于i
              // query(nums[i] + 1) 为nums[0,i-1]小于等于nums[i] + 1的数量
              // 相减即为以nums[i]为右端点的逆序对的数量【全局倒置】
              b += nums[i] < nums[i - 1] ? 1 : 0;
              add(nums[i] + 1);
          }
          return a == b;
      }
  }
  
  作者：宫水三叶
  链接：https://leetcode.cn/problems/global-and-local-inversions/solutions/1973365/by-ac_oier-jc7a/
  来源：力扣（LeetCode）
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• 复杂度

  • 时间复杂度：$O(nlogn)$
  • 空间复杂度：$O(n)$