【微波技术与电路】 01 Maxwell电磁传播理论

Maxwell 电磁传播理论

Maxwell 电磁传播理论的内容可以用以下方程概括：

Maxwell 方程

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{D}& =\rho \\ \nabla \times \mathbf{E}& =-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf{B}& =0\\ \nabla \times \mathbf{H}& =\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}\end{array}$$

洛伦兹力公式

$$\mathbf{f}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$$

介质的本构关系

$$\begin{array}{rl}\mathbf{D}& ={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\epsilon \mathbf{E}\\ \mathbf{H}& =\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}=\frac{1}{\mu }\mathbf{B}\\ \mathbf{P}& ={\chi }_e{\epsilon }_0\mathbf{E}=({\epsilon }_r-1){\epsilon }_0\mathbf{E}\\ \mathbf{M}& ={\chi }_m\mathbf{H}=({\mu }_r-1)\mathbf{H}\end{array}$$

后两式的前一个等号基于 线性各向同性介质 的假设。一般的本构关系写成

$$\begin{array}{rl}\mathbf{D}& =\mathbf{D}(\mathbf{E},\mathbf{B})\\ \mathbf{H}& =\mathbf{H}(\mathbf{E},\mathbf{B})\end{array}$$

介电常数和磁导率依赖于外场的圆频率 $\omega$ ，这种现象被通称为 色散 ：介质将对不同颜色（频率）的光有不同的折射率 $n(\omega )=\sqrt{{\epsilon }_r(\omega ){\mu }_r(\omega )}$ ，从而在空间上有“分离”作用。

Maxwell 方程的波动解

在这里我们假设：电磁波已经产生，然后在无源介质空间（没有自由电荷、自由电流）中按照 Maxwell 方程组传播。
如果介质导电，则会有 $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$ 的 传导电流 。

无源的 Maxwell 方程组为

$$\begin{array}{rlr}\nabla \cdot \mathbf{E}& =0& (1)\\ \nabla \times \mathbf{E}& =-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}& (2)\\ \nabla \cdot \mathbf{B}& =0& (3)\\ \nabla \times \mathbf{B}& =\epsilon \mu \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}& (4)\end{array}$$

其中 $(1),(3)$ 的两个方程表明电波和磁波都是横波。利用另两个方程可以得到关于电场或磁场的二阶偏微分方程

$$\begin{array}{rl}{\nabla }^2\mathbf{E}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0& (5)\\ {\nabla }^2\mathbf{B}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0& (6)\end{array}$$

场量之间以关系式 $(2),(4)$ 联系。

而波动方程 $(5),(6)$ 总有时谐解

$$U(\mathbf{r},t)=U_0\cos (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t+\delta )=\mathrm{R}\mathrm{e}{\tilde{U}}_0{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t+\delta )},k^2=\epsilon \mu {\omega }^2$$

后面使用了复数表示。 Maxwell 方程的线性性保证：可以用复数形式计算完成后再取实部。这极大方便了计算。能量等涉及场量二次项的因为非线性不能这样算，但亦可以化简：电磁波的周期 $T=2\pi /\omega$ 一般很短，可以用平均值代表实验测量值

$$\overline{fg}=\overline{f_0{e}^{-i\omega t}{g}_0{e}^{-i\omega t+i\varphi }}=\frac{1}{2}{f}_0{g}_0\cos \varphi =\frac{1}{2}\mathrm{R}\mathrm{e}(f^{\ast }g)$$

描述波动性时常用的术语是：

名称	记号	备注
相位	$\delta$
波数	$k$
波长	$\lambda$	$\lambda =\frac{2\pi }{k}$
频率	$\nu$	$\nu =\frac{1}{T}$
角频率	$\omega$	$\omega =2\pi \nu$

需要注意， 频率/角频率相比波长/波数是更加本征的量 。一束电磁波在进入介质前后，其频率不变而波长发生改变。光子携带的能量 $E=h\nu =\hslash \omega$ 亦由频率决定。

Maxwell 边界条件

以下边界条件是由无源的 Maxwell 方程组导出的。

绝缘介质面

$$\begin{array}{rlr}\hat{\mathbf{n}}\times ({\mathbf{E}}_2-{\mathbf{E}}_1)& =0& \hat{\mathbf{n}}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)=0\\ \hat{\mathbf{n}}\cdot ({\mathbf{B}}_2-{\mathbf{B}}_1)& =0& \hat{\mathbf{n}}\cdot ({\mathbf{D}}_2-{\mathbf{D}}_1)=0\end{array}$$

即， $\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{D}$ 的法向分量连续， $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{H}$ 的切向分量连续。

$\hat{\mathbf{n}}\times (\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{A})\equiv {\mathbf{A}}_n-\mathbf{A}\equiv -{\mathbf{A}}_{\tau }$

导体表面

先说明 良导体内部不能积累电荷 。电荷只能分布在导体表面，良导体内部可以按照 $\rho =0$ 处理。只需要联立

$$\begin{array}{rlr}\nabla \cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho }{\partial t}& =0& \text{（电荷守恒定律）}\\ \nabla \cdot \mathbf{D}& =\rho & \text{（高斯定律）}\\ \mathbf{J}& =\sigma \mathbf{E}& \text{（欧姆定律）}\\ \mathbf{D}& =\epsilon \mathbf{E}& \text{（认为导体线性均匀）}\end{array}$$

解出

$$\rho (\mathbf{r},t)=\rho (\mathbf{r},0)e^{-\frac{\sigma }{\epsilon }t}$$

对于良导体， $\tau \equiv \frac{\sigma }{\epsilon }\approx 10^{-17}\mathrm{s}$ 。

仍然考虑单色电磁波，并将 $\rho =0$ 代入 Maxwell 方程组：

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{E}& =0\nabla \cdot \mathbf{H}=0\\ \nabla \times \mathbf{E}& =i\omega \mu \mathbf{H}\\ \nabla \times \mathbf{H}& =-i\omega \epsilon \mathbf{E}+\sigma \mathbf{E}\equiv -i\omega {\epsilon }^{\prime }\mathbf{E}\end{array}$$

其中定义了 复介电常数 ${\epsilon }^{\prime }=\epsilon +i\frac{\sigma }{\omega }$ 。这样方程和绝缘介质中的情况有相同的形式。相应的波数 $\tilde{k}=\omega \sqrt{{\epsilon }^{\prime }\mu }$ 也为复数，为此引入 复波矢 $\tilde{\mathbf{k}}=\mathbf{\beta }+i\mathbf{\alpha }$ 。导体中单色平面电磁波的解写为

$$\begin{array}{rl}& \tilde{\mathbf{E}}(r,t)={\tilde{\mathbf{E}}}_0{e}^{-\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{r}+i(\mathbf{\beta }\cdot \mathbf{r}-\omega t)}\\ & \text{衰减因子}{e}^{-\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{r}}\\ & \text{振动因子}{e}^{i(\mathbf{\beta }\cdot \mathbf{r}-\omega t)}\end{array}$$

从而 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 作为法向分别定义了导体中单色平面电磁波的 等幅度面 和 等相位面 。

利用 ${\mathbf{k}}^2={\omega }^2{\epsilon }^{\prime }\mu$ 和边界条件可以求出 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 。假设电磁波垂直入射（从而 $\mathbf{\alpha }\parallel \mathbf{\beta }$），并且假设良导体 $\sigma \gg \epsilon \omega$ ，得 $\alpha \approx \sqrt{\omega \mu \sigma /2}$ ，于是特征深度 $\delta =1/\alpha \sim (\omega \mu \sigma {)}^{-1/2}$ 。这表明高频电磁场及其在导体中激发的高频电流只能集中在导体表面的一个薄层内，这就是 趋肤效应 。利用这一现象可以做成电磁屏蔽装置。但是， $\sigma \ll \epsilon \omega$ 时 $\beta \gg \alpha$ ，衰减很小。

上述判断是否为良导体的指标 $\frac{\sigma }{\epsilon \omega }$ 还有两个意义：

• 是复介电常数 ${\epsilon }^{\prime }=\epsilon +i\frac{\sigma }{\omega }$ 的虚部和实部的比，从而是传导电流 ${\mathbf{J}}_C=\sigma \mathbf{E}$ 和位移电流 ${\mathbf{J}}_D=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ 幅度的比。位移电流与电场 $\mathbf{E}$ 相位差 $\pi /2$ ，不消耗电磁能量；传导电流与电场同相，消耗电磁能量而产生焦耳热。

• 是良导体中单色电磁波磁场能量与电场能量的比。仍然在垂直入射和良导体假设下利用 $\alpha =\beta \approx \sqrt{\omega \mu \sigma /2}$ 有

$$\frac{w_m}{w_e}=\frac{\mu H^2}{\epsilon E^2}=\frac{\mu }{\epsilon }\frac{k^2}{{\omega }^2{\mu }^2}=\frac{\sigma }{\omega \epsilon }\gg 1$$

对于良导体，电磁波的能量主要是磁场能量。

波包的色散

实际的电磁波都是不同频率的单色波的叠加，称为 波包 。单色光源发出的光也是由中心在 ${\omega }_0$ ，频移为 $\pm \Delta \omega$ 的许多单色光叠加而成，构成准单色波包。考虑一个一维的波包

$$\begin{array}{rl}U(x,t)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }A(k)e^{ikx-i\omega (k)t}\mathrm{d}k\\ A(k)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }U(x,0)e^{-ikx}\mathrm{d}x\end{array}$$

其中 $\omega =\omega (k),k=k(\omega )$ 称为介质的色散关系。将 $\omega (k)$ 在 $k_0=k({\omega }_0)$ 附近展到一阶

$$\begin{array}{rl}\omega (k)& ={\omega }_0+(k-k_0){\omega }^{\prime }(k_0)+o(k-k_0)(7)\\ U(x,t)& =\frac{e^{i(k_0{\omega }^{\prime }(k_0)-{\omega }_0)t}}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }A(k)e^{ik(x-{\omega }^{\prime }(k_0)t)}\mathrm{d}k\\ & =e^{i(k_0{\omega }^{\prime }(k_0)-{\omega }_0)t}U(x-{\omega }^{\prime }(k_0)t,0)\end{array}$$

定义 群速度 $v_g\equiv {\omega }^{\prime }(k_0)$ ，上式表明与 $t=0$ 时刻的波包的强度 $|U(x-v_{g}t,0){|}^2$ 相比， $t$ 时刻的波包 $U(x,t)$ 整体形状没有改变，但以群速度移动了一段距离 $v_{g}t$ 。因此，这时描写波包信号传播更为恰当的物理量是它的群速度 $v_g$ ，而不是相速度 $v_p$ 。如果考虑 $\omega (k)$ 的高阶项，则波形会改变（波包扩散）。

相比之下， 相速度 $v_p\equiv \frac{\omega (k)}{k}$ 表示的是相位随时间的变化。波动方程要求 $k=\omega \sqrt{\epsilon \mu }=\omega n/c$ ，所以

$$v_p=\frac{\omega (k)}{k}=\frac{c}{n(k)}$$

取决于 $n(k)$ 和 $1$ 的相对大小，相速度可以超过光速 $c$ 。这不违反相对论原理，因为相速度不代表物质或者能量的传播速度。

恒成立的关系式 $\omega n(\omega )=ck(\omega )$ 两边对 $\omega$ 求导，得到

$$v_g=\frac{1}{k^{\prime }(\omega )}=\frac{c}{n(\omega )+\omega n^{\prime }(\omega )}$$

只要存在色散，即 $n^{\prime }(\omega )\ne 0$，群速度就不同于相速度。

群速度是介质中信号（能量）传递的速度的结论并不能无限地扩大。它仅仅是在近似条件 $(7)$ 成立的前提下才是对于色散介质中电磁波传播有意义的一个物理量。如果这个近似不成立，那么群速度也会失去其意义，就像相速度对于色散介质中的波包的传播失去其意义一样。

• 对于正常色散 $n^{\prime }(\omega )>0$ 的情形
  由于通常 $n>1$ ，群速度比相速度要小，而且二者都小于真空中的光速。

• 对于反常色散 $n^{\prime }(\omega )<0$ 的情形
  由于 $\mathrm{d}n/\mathrm{d}\omega$ 的绝对值可以很大（这可从介质的介电常数的振子模型的表达式中看出，特别是当频率接近某个振子频率时，介质的折射率会出现剧烈的变化，这往往伴随着剧烈的反常色散），群速度可以大于相速度，甚至可以大于真空中的光速。在更为极端的情形下，它还可以是负的。这些貌似奇怪的行为其实并不会撼动狭义相对论的基本原理，因为，当群速度表观上超过真空光速甚或变为负数时，群速度本身已经失去了其原本的物理意义，这时它并不能代表介质中信号或者能量的传播速度。事实上通过k-k关系可以证明，在相当一般的假定下，任何介质中信号的传播速度都不会超过真空中的光速。

单色平面电磁波的性质

横波性

对于单色波 $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)={\mathbf{E}}_0{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}$ ，波动方程 $({\nabla }^2-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\mathbf{E}=0$ 简化为 Helmholtz 方程 $({\nabla }^2+\epsilon \mu {\omega }^2)\mathbf{E}=0$ 。其中，微分算子 $\nabla \equiv i\mathbf{k}$ ，$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\equiv -i\omega$ 。

这样就得到

$$\begin{array}{r}-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=i\omega \mathbf{B}=i\mathbf{k}\times \mathbf{E}=\nabla \times \mathbf{E}\\ 0=i\mathbf{k}\cdot \mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf{E}\\ 0=i\mathbf{k}\cdot \mathbf{B}=\nabla \cdot \mathbf{B}\end{array}$$

所以 平面电磁波是横波 。由 $\mathbf{B}=\frac{1}{\omega }\mathbf{k}\times \mathbf{E}=\frac{{\hat{\mathbf{e}}}_k}{v_p}\times \mathbf{E}$ 还可以知道电波和磁波相位相同，而振幅比为 $v_p$ 。

能量密度和能流密度

在线性各向同性均匀介质中传播的电磁波，其能量密度

$$\begin{array}{rl}w& =\frac{1}{2}(\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{E}}\cdot \mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{D}}+\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{B}}\cdot \mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{H}})\\ & =\frac{\epsilon }{2}(\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{E}}{)}^2+\frac{1}{2\mu }(\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{B}}{)}^2\\ & =\epsilon (\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{E}}{)}^2={\mu }^{-1}(\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{B}}{)}^2\end{array}$$

平面电磁波中 电场能量和磁场能量相等 。

能流密度 $\mathbf{S}=\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{E}}\times \mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{H}}=\frac{\epsilon }{\sqrt{\epsilon \mu }}|\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{E}}{|}^2{\hat{\mathbf{e}}}_k=v_{p}w{\hat{\mathbf{e}}}_k$ 。

它们各自的周期平均值

$$\begin{array}{rl}\overline{w}& =\frac{\epsilon }{2}|\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{E}}{|}^2=\frac{1}{2\mu }|\mathrm{R}\mathrm{e}\tilde{\mathbf{B}}{|}^2\\ \overline{\mathbf{S}}& =\frac{1}{2}\mathrm{R}\mathrm{e}({\tilde{\mathbf{E}}}^{\ast }\times \tilde{\mathbf{H}})=v_p\overline{w}{\hat{\mathbf{e}}}_k\end{array}$$

单色波的偏振

在求解波动方程时得到 $k=\omega \sqrt{\epsilon \mu }$ ，这说明频率确定时，只限制 $\mathbf{k}$ 的大小，而对其方向没有限制。因此，存在各种频率和各种传播方向的平面波的解（各种模式）。

对于单色平面波， $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 被限制在与传播方向 ${\hat{\mathbf{e}}}_k$ 垂直的平面上。在 $\omega ,\mathbf{k}$ 给定时，不同初相和振动方向的电磁波叠加之后仍是方程的解。

取波的传播方向为 ${\hat{\mathbf{e}}}_z$ 。因为平面电磁波的电场与波矢垂直，电场的振动还可以在 ${\hat{\mathbf{e}}}_x,{\hat{\mathbf{e}}}_y$ 两个独立方向上正交分解。把它们称为 线偏振波基矢 。电场 $\tilde{\mathbf{E}}$ 沿其中一个方向的振动可以用内积表示

$$\begin{array}{r}{E}_x=\mathrm{R}\mathrm{e}({\tilde{E}}_{x0}{e}^{i(kz-\omega t)})=E_{R_x}\cos (kz-\omega t+{\alpha }_x)\\ E_y=\mathrm{R}\mathrm{e}({\tilde{E}}_{y0}{e}^{i(kz-\omega t)})=E_{R_y}\cos (kz-\omega t+{\alpha }_y)\end{array}$$

对于固定的 $z$ ，给定一组 $(E_{R_x},E_{R_y},{\alpha }_x-{\alpha }_y)$ 就给定了一种偏振方式。

偏振方式	$E_{R_x},E_{R_y}$	${\alpha }_x-{\alpha }_y$
线偏振		$n\pi$
圆偏振	$E_{R_x}=E_{R_y}$	$-\frac{\pi }{2}$ 左旋偏振 $\frac{\pi }{2}$ 右旋偏振
椭圆偏振	一般取值	一般取值

容易发现左旋偏振的电场矢量 ${\tilde{\mathbf{E}}}_0$ 与 ${\hat{\mathbf{e}}}_l=({\hat{\mathbf{e}}}_x+i{\hat{\mathbf{e}}}_y)/\sqrt{2}$ 平行，右旋偏振的则与 ${\hat{\mathbf{e}}}_r=({\hat{\mathbf{e}}}_x-i{\hat{\mathbf{e}}}_y)/\sqrt{2}$ 平行。它们分别称为 左旋偏振基矢 和 右旋偏振基矢 ，且正交归一。
任一椭圆偏振波既可以用两个独立的线偏振波（例如 {e^x,e^y}\{\boldsymbol{\hat e}_x,\boldsymbol{\hat e}_y\}{e^x​,e^y​} ）展开，也可以用左右旋偏振波（例如 {e^l,e^r}\{\boldsymbol{\hat e}_l,\boldsymbol{\hat e}_r\}{e^l​,e^r​} ）展开。