【算法】分治法的基本思想和二分搜索的应用

创作不易，本篇文章如果帮助到了你，还请点赞 关注支持一下♡>𖥦<)!!
主页专栏有更多知识，如有疑问欢迎大家指正讨论，共同进步！
更多算法分析与设计知识专栏：算法分析🔥
给大家跳段街舞感谢支持！ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈ ቼ

---

一、分治法的基本思想

分治法它的基本思想是将一个大问题分解成若干个与原问题相似的小问题，用相同的方法递归地解决这些小问题，最后将这些小问题的解合并起来，得到原问题的解决方案。

分治法所能解决的问题一般具有以下特征：

• 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决。
  因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加，因此大部分问题满足这个特征。

• 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
  这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用。

• 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
  能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。

• 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
  这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。

在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

二、分治法的基本步骤

分治法通常包括三个步骤：

• 分解：将原问题分解成若干个子问题，这些子问题是原问题的规模较小的版本，且它们的结构与原问题相同或类似。

• 解决：递归地求解每个子问题。当子问题的规模足够小，可以直接求解时，则停止递归。

• 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。

divide-and-conquer(P)
{
   
   
    if ( | P | <= n0) adhoc(P);   //解决小规模的问题
    divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；//1.分解
    for (i=1,