一种方便的证明莫比乌斯函数的方法

$一种方便的证明莫比乌斯函数的方法$

$设有\ f = g * 1$

$两侧都卷上\mu,\ 得：\mu * f = g * 1 * \mu$

$\mu *1 = \epsilon$

$所以 g * 1 * \mu = g * \epsilon = \sum_{d|n} {g \ (d) \times \epsilon \ ({n \over d})} = g(n) \times \epsilon(1) = g(n)$

$故 \ \mu * f = g$

$然后反过来再证：两边卷上1 : \ g * 1 = \mu * f * 1 = \epsilon * f = f$

$Q.E.D.$