时间序列分析与量化交易（4）||从经典角度看概念

在做任何时间数列的分析时，通常第一步工作是先看看数据的图形。

• 平稳随机过程

  任何时间序列数据都可以看作是一个随机过程产生的结果（实例）。

  随机过程和实现之间的区别。类比于总体与样本。

  由样本推导出总体，类比于由随机过程的一个实现去引出有关这个背后的随机过程。

  如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期之间的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称为**平稳**的。

  随机时间序列$Y_t$:

  ​ 均值：$E(Y_t)=\mu$

  ​ 方差：$var(Y_t)=E(Y_t-\mu {)}^2$

  ​ 协方差：${\gamma }_k=E[(Y_t-\mu )(Y_{t+k}-\mu )]$

  ​ 其中${\gamma }_k$即滞后$k$的协方差[自(身)协方差],是$Y_t$和$Y_{t+k}$也就是相隔$k$期的两值之间的协方差。如果k=0就得到${\gamma }_0$就是方差。

  即，如果一个时间序列是平稳的，不管在任何时间测量，它的均值、方差、（各种滞后的）自协方差都保持不变。

  由时间序列的平稳性反推，那均值、方差、自协方差有一个变换了，他就成了非平稳性的时间序列，那就由了三个研究方向。

• 平稳性检验-相关图

  • 自相关函数（Autocorrelation Function，ACF）

    $$\begin{gathered} {\rho }_k=\frac{{\gamma }_k}{{\gamma }_0} \\ =\frac{滞后k的协方差}{方差} \end{gathered}$$

    ${\rho }_k$落在-1到+1之间。

  • 总体相关图（population correlogram）

    ${\rho }_k$对$k$描点得到的图形。

  • 样本自相关函数（Sample Autocorrelation Function,SACF）

    实际上我们对一个随机过程只有一个实现（即样本，也就是实例）。我们只能计算样本自相关系数。

    自相关系数，是针对随机过程而言，随机过程对应的是一个全部，是不可能尽数遍历获取到的。

    能得到的只是这个随机过程的一个实现：一个时间序列（总体的一个样本），所以只能计算样本自相关系数。

    $$样本协方差：\widehat{{\gamma }_k}=\frac{\sum (Y_t-\overline{Y})(Y_{t+k}-\overline{Y})}{n}=E[(Y_t-\overline{Y})(Y_{t+k}-\overline{Y})]$$

    $$样本方差：\widehat{{\gamma }_0}=\frac{\sum (Y_t-\overline{Y}{)}^2}{n}=E[(Y_t-\overline{Y}{)}^2]$$

    其中：$n$是样本含量而$\overline{Y}$是样本均值。因此，滞后$k$的样本自相关函数是：
    $$\hat{\rho }=\frac{\widehat{{\gamma }_k}}{\widehat{{\gamma }_0}}$$

    • 样本相关图（Sample correlogram）

      $\widehat{{\rho }_k}$对$k$描点得到的图形。

• 平稳性检验-单位根检验（Unit root test）

  • 白噪声

金融时间序列先到这里，后面再回头咀嚼

• Reference

1. 《计量经济学》古扎拉蒂 中国人民大学出版社