特殊的排列组合(详细分析+证明) 每日一遍，算法再见！

最新推荐文章于 2025-06-07 15:00:00 发布

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本文探讨了重复排列、重复组合的概念及其计算方法，包括用隔板法解决组合问题，并深入解析了不全相异全排列和圆周排列的计数法则。通过实际案例和代码展示，帮助理解这些在实际问题中的应用。

特殊的排列组合

1.重复排列

定义：1.一般的从n给物体中可重复的选取r个物体，把这r个物体排列成一行，称为n个不同物体的可重复排列，简称重复排列。

一般的，在n个不同物体中，可重复的选取r个物体的排列数是 $n^r$ ，这个不难理解，r个位置，每一个位置都有n种选取方法。

2.重复组合

重复组合是不考虑排列位置的，举个例子，现在有两个物体a，b，选取4个物体组合有多少(允许重复选取)？

aaaa，aaab，aabb，abbb，bbbb一共5种。那么我们如何去算重复组合的方案树呢？这个问题相较于重复排列就要难一点了。

从n个不同物体中允许重复的选取r个物体的组合数是 $C (n + r - 1, r) .$

证明：我们假设n个不同物体被选择的次数分别是 $x_1,x_2,x_3,....,x_n,其中x_i>=0,1<=i<=n$ ,那么方案数即为
$x_1+x_2+x_3+...+x_n = r$ 的自然数解的个数，我们把 $x_1,x_2,x_3,...,x_n都加上1，不改变解的个数，令k_i=x_i+1$
,那么问题就变成了求 $k_1+k_2+k_3+...+k_n=r+n$ 的正整数解的个数( $k_i>0$ ),此时我们就可以用隔板法求解了，我们抽象的把r+n理解为有r+n给点，中间有r+n-1个空隙，然后我们需要用n-1个隔板插入到某些空隙中把r+n给点分成n部分，就想下面这样。
⚪ ⚪ 丨⚪…⚪丨 ⚪ ⚪
那么我们从r+n-1个空隙中选择n-1个空隙插入隔板，方案数是 $C (r + n - 1, n - 1) = C (r + n - 1, r)$
证毕！

3.不全相异的全排列

现在有3个红球，2个白球，把这5只球排成一行，问有多少种排法？其中白球与白球，红球与红球之间没有任何差别。
用a表示红球，b表示白球，得到下面10种排法
$a a a b b, a a b a b, a a b b a, a b a a b, a b a b a, b a a a b, b a a b a, a b b a a, b a b a a, b b a a a$

一般的，在不全相异的物体中，其中 $n_1$ 个物体是相同的， $n_2$ 个物体是相同的,…, $n_k$ 个物体时相同的。n个物体中不相同的物体一共有k种，即 $n=n_1+n_2+...+n_k$ 则这n个物体的全排列数 $n!/(n_1!×n_2!×....×n_k!)$

4.圆周排列

上面的排列都是排成一排的形式，但如果是在一个圆上面，则称为圆排列，不同之处在于，圆排列是首位相连的，某些排列是等价的，例如abcd，dabc，bcda，cdab这四种排列就是等价的。

我们用Q(n,r)表示从n个不同物体种选择r个物体做圆排列，那么Q(n,r)=A(n,r)/r5,这个不难理解，因为圆上的排列，从每一个点出发绕一圈形成的排列方案都是等价，所以我们需要把所有的方案除以圆上点的个数也就是r。

例题：Lolihunte生日收到一条手链，由n课不同颜色的珠子串成的，有一天Lolihunte不小心把手链弄断了，珠子散了一地，他不记得珠子的排列顺序，现在问他能排出多少种链子？

分析：手链是一个圆周，由上面的圆周排列公式求解

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	int ans=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		ans*=i;
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}