机器学习——详解KD-Tree原理

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今天是机器学习的第15篇文章，之前的文章当中讲了Kmeans的相关优化，还讲了大名鼎鼎的EM算法。有些小伙伴表示喜欢看这些硬核的，于是今天上点硬菜，我们来看一个机器学习领域经常用到的数据结构——KD-Tree。

从线段树到KD树

在讲KD树之前，我们先来了解一下线段树的概念。线段树在机器学习领域当中不太常见，作为高性能维护的数据结构，经常出现在各种算法比赛当中。线段树的本质是一棵维护一段区间的平衡二叉树。

比如下图就是一个经典的线段树：

从下图当中我们不难看出来，这棵线段树维护的是一个区间内的最大值。比如树根是8，维护的是整个区间的最大值，每一个中间节点的值都是以它为树根的子树中所有元素的最大值。

通过线段树，我们可以在$O(logN)$的时间内计算出某一个连续区间的最大值。比如我们来看下图：

当我们要求被框起来的区间中的最大值，我们只需要找到能够覆盖这个区间的中间节点就行。我们可以发现被红框框起来的两个节点的子树刚好覆盖这个区间，于是整个区间的最大值，就是这两个元素的最大值。这样，我们就把一个需要$O(n)$查找的问题降低成了$log(N)$，不但如此，我们也可以做到$O(logN)$复杂度内的更新，也就是说我们不但可以快速查询，还可以更新线段当中的元素。

当然线段树的应用非常广泛，也有许多种变体，这里我们不过多深入，感兴趣的同学可以期待一下周三的算法与数据结构专题，在之后的文章当中会为大家分享线段树的相关内容。在这里，我们只需要有一个大概的印象，线段树究竟完成的是什么样的事情即可。

线段树维护的是一个线段，也就是区间内的元素，也就是说维护的是一个一维的序列。如果我们将数据的维度扩充一下，扩充到多维呢？

是的，你没有猜错，从某种程度上来说，我们可以把KD-Tree看成是线段树拓展到多维空间当中的情况。

KD-Tree定义

我们来看一下KD-Tree的具体定义，这里的K指的是K维空间，D自然就是dimension，也就是维度，也就是说KD-Tree就是K维度树的意思。

在我们构建线段树的时候，其实是一个递归的建树过程，我们每次把当前的线段一分为二，然后用分成两半的数据分别构建左右子树。我们可以简单写一下伪代码，来更直观地感受一下：

class Node:
    def __init__(self, value, lchild, rchild):
        self.value = value
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild   
        
def build(arr):
    n = len(arr):
    left, right = arr[: n//2], arr[n//2:]
    lchild, rchild = self.build(left), self.build(right)
    return Node(max(lchild.value, rchild.value), lchild, rchild)

我们来看一个二维的例子，在一个二维的平面当中分布着若干个点。

我们首先选择一个维度将这些数据一分为二，比如我们选择x轴。我们对所有数据按照x轴的值排序，选出其中的中点进行一分为二。

在这根线左右两侧的点被分成了两棵子树，对于这两个部分的数据来说，我们更换一个维度，也就是选择y轴进行划分。一样，我们先排序，然后找到中间的点，再次一分为二。我们可以得到：

我们重复上述过程，一直将点分到不能分为止，为了能更好地看清楚，我们对所有数据标上坐标（并不精确）。

如果我们