动态规划入门——详解经典问题零一背包

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注

今天是周三算法与数据结构专题的第12篇文章，动态规划之零一背包问题。

在之前的文章当中，我们一起探讨了二分、贪心、排序和搜索算法，今天我们来看另一个非常经典的算法——动态规划。

在acm-icpc竞赛领域，动态规划是一个非常大的范畴，当中包含了许多变种，而且很多变种难度极大。比如在各种树上和图上以及其他数据结构上做动态规划，这会使得问题非常复杂。好在非竞赛选手并不需要了解到那么深入，一般来说，吃透背包九讲，就足够笑傲各种面试了。所以周三的算法专题我们开始全新的篇章——背包系列，今天和大家分享背包九讲中的第一讲，也是最简单的零一背包问题。

背包和零一背包

没有竞赛经验的同学在看到这个标题的时候可能会一头雾水，动态规划和背包有什么关系。其实没有关系，我也不是陈奕迅的粉丝，只是当初最经典的动态规划问题用背包做了题面，还引发出了各种变种。后来在教学的时候为了方便，于是沿用了前人的名称。

之前我们在怪盗基德偷宝石的问题当中提到过背包问题，其实很简单，就是说我们当下有一个容量是V的背包，和n个体积分别是v[i]，价值是w[i]的五品。请问，在背包容量允许的前提下，我们最多能够获得多少价值的物品？

由于每种物品只有一个，也就是物品只有拿和不拿两种状态，所以这个问题被称为零一背包问题。

贪心与反例

这种问题我们最先想到的就是贪心法，比如优先拿价值大的物品，或者是性价比高的物品，但是我们很容易构思出反例。

举个例子，比如背包的容量是10，我们有3个物品，体积分别是6，5，5，价值是10，8，8。这个反例可以证明两种贪心策略都不生效，因为价值最大的是10，它的体积是6，我们一旦拿了它就没有空间再继续获取其他物品，而显然拿两个5的情况是最优的。同样，体积是6的物品也是性价比最高的，性价比优先的贪心策略同样不生效。

实际上不仅这两种贪心策略不生效，所有能够想到的贪心策略都不生效。这个问题看起来简单，但是并不是那么容易解决。实际上这个问题一直困扰着计算学家，直到上世纪六十年代，动态规划算法横空出世，完美地解决了这个问题。

动态规划

动态规划算法的英文是dynamic programming，算是很直白的翻译了。规划我们都很好理解，但是动态应该怎么理解呢？又怎么来动态地规划呢？关于这个问题的思考直接关系到算法的本质。

动态规划算法的本质是状态的记录和转移，我们结合刚才的问题，有没有想过为什么贪心算法不可行？其实很简单，因为我们没办法确定背包什么状态是完美的。虽然我们知道背包的容量是V，但是我们并不知道最优的情况下我们能装多少，最优的结束状态是什么。我们把空间V看成了一个状态来进行贪心，贪心得到的结果是最优的，但是只是贪心能达到的状态的最优解，并不是全局的最优解，因为背包容量的限制，很有可能我们贪心策略下无法达到真正最优的状态。

用刚才的例子解释一下上面这段话，在贪心算法下，我们会选取容量是6，价值是10的物品，这个物品拿取了之后背包的状态是6，获取的价值是10。这个状态是贪心能够达到的最终状态，对于这个状态而言，它是最优解，但是这个状态并不是整体最优的情况，因为在贪心策略下，无法达到容量10全用完的状态。

理解了这个问题之后，再去推导解法就顺其自然了。贪心策略可以获取一些状态最优的情况，那么我们能不能记录下所有状态能够达到的最优的情况，最后在这些最优的情况当中选取一个最优的，它不就是整体最优解了吗？

动态规划正是基于上述思路展开的，它解决的不是一个状态的最优解，而是所有状态的最优解。

状态与转移

看到这里，你肯定还没理解动态规划算法，但是应该已经有一些大概的感觉了。这是对的，有正确的感觉是正确认识的前提。我们循序渐进，再来看状态这个概念。

我们刚才提了这么多次，究竟状态是什么呢？这是一个比较抽象的概念，在不同的问题当中它有着不同的含义。在背包问题当中，状态指就的是背包容量的使用情况。由于背包问题中物品的体积是整数，显然背包容量的可能性是有限的，这点不起眼，但是很重要，如果状态不是整数，那么虽然存在动态规划的可能，但是代码实现可能比较麻烦。

明白了背包的容量是状态之后，我们可以进一步想明白，背包的容量是会变化的。变化的原因是因为我们往里面放了东西，放了东西之后，背包的状态会发生变化，会从一个状态转移到另一个状态