【OpenCV】不变矩

图像矩

在计算图像矩是需要将图像转化为单通道的灰度图，或者进行二值化处理，即目标对象设为1，背景设为0。

图像的矩是将图像像素灰度值进行加权平均，从而反映图像中像素值分布的一种算子。

零阶矩

最简单的图像矩是以1的权重计算的像素灰度值之和，即：
$$\begin{array}{c}{m}_{00}=\sum _x\sum _{y}f(x,y)\end{array}$$
如果要计算的是二值化图片中的一个白色对象，比如下图中的字母“S”：

通过公式可以知道，零阶矩计算的就是这个字母的像素点的个数和。因此可以推出，零阶矩只能反映图像中对象的面积信息。

至于为什么这个图像矩称为零阶矩，看完下面的空间矩就可知。

空间矩

如果在零阶矩的基础上再加上像素点的位置信息，即行数和列数，则可得到图像的空间矩：
$$\begin{array}{c}{m}_{pq}=\sum _x\sum _y{x}^p{y}^{q}f(x,y)\end{array}$$

• 其中$(p+q)$称为矩的阶；
• 当$p,q=0$时，就可得到$(1)$式中的零阶矩，这也是它为什么被称为零阶矩的原因。

空间矩又称原始矩。由于加入了行数和列数，所以相比于零阶矩，它除了可以反映对象的面积信息，还可以反映图像相对于原点（0行，0列）的位置信息，即离原点越远的灰度值，权重越高。

质心

通过$(2)$式可以计算对象的两个一阶矩：
$$m_{10}=\sum _x\sum _{y}xf(x,y)$$$$m_{01}=\sum _x\sum _{y}yf(x,y)$$

这两个一阶矩分别代表了对象中的灰度值在行和列上的分布情况，将它们分别除以零阶矩，就可以得到行和列上的中心位置：
$$\bar{x}=\frac{m_{10}}{m_{00}},\bar{y}=\frac{m_{01}}{m_{00}}$$
上式就是对象的质心坐标，代表了对象的中心位置。

中心矩

空间矩包含了对象相对于图像原点的位置信息；如果换成对象相对于其质心的位置信息就变成了中心矩：
$$\begin{array}{c}{\mu }_{pq}=\sum _x\sum _x(x-\bar{x}{)}^p(y-\bar{y}{)}^{}\end{array}$$