poj2115

关于扩展欧几里德定理

模线性方程

ax=b (mod n)可转换为ax-b=qn;即gcd(a,n)*(ax/gcd(a,n)-qn/gcd(a,n))=b;

所以方程有解的充要条件为 gcd(a,n) | b ，即 b% gcd(a,n)==0

令d=gcd(a,n)

有该方程的 最小整数解为 x = e (mod n/d)

其中e = [x0 mod(n/d) + n/d] mod (n/d) ，x0为方程的最小解

那么原题就是要计算b% gcd(a,n)是否为0，若为0则计算最小整数解，否则输出FOREVER

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <stack>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
long long extended_euclid(const long long &a,const long long &b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long d=extended_euclid(b,a%b,x,y);
    long long x1=x;
    x=y;
    y=x1-a/b*y;
    return d;
}
long long solution(const long long &a,const long long &b,const long long &n)
{
    long long x,y;
    long long d=extended_euclid(a,n,x,y);
    if(b%d)return -1;
    long long x0=(x*b/d)%n+n;
    return x0%(n/d);
}
int main()
{
    long long a,b,c,k;
    while(cin>>a>>b>>c>>k,a||b||c||k)
    {
        long long ans=solution(c,b-a,(long long)1<<k);//这里得注意
        if(ans==-1)cout<<"FOREVER\n";
        else cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}