[BZOJ4002]JLOI2015有意义的字符串|矩阵乘法

最新推荐文章于 2018-12-22 14:23:22 发布

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#矩阵乘法

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本文探讨了数列求解与矩阵快速幂运算的关系，通过特征方程找到数列通项公式，并利用矩乘算法高效计算特定项值。重点强调了参数条件与边界情况的处理，以及算法实现过程中的注意事项。

题目和字符串有啥关系吗。。。
熟悉特征方程就容易发现这其实是一个 $a[n]=c_1*a[n-1]+c_2*a[n-2]$ 这样的数列的通项的一部分， $a[n]=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$ ，其中 $c_1=b,c_2=\frac{d-b^2}{4}$ ，这样我们可以通过矩乘算出 $a[n]$ 来。根据题目数据特点发现 $a[n]$ 的后面项在 $(-0.5,0.5)$ 之内，那么只有n为偶数且 $d！=b^2$ 时答案才是 $a[n]-1$ ，否则是 $a[n]$ 。。注意各种爆范围。。。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<memory.h>
#include<cmath>
#define p 7528443412579576937ul
#define ll unsigned long long
using namespace std;
struct ju{
    ll a[2][2];
    int n,m;
}ans,t;
ll b,d,n;
ll mul(ll a,ll b)
{
    if (b>a) swap(a,b);
    if (b==0) return 0ll;
    ll c=mul(a,b/2);
    c=c*2%p;
    if (b%2==1) c=(c+a)%p;
    return c;
}
ju operator*(ju a,ju b)
{
    ju ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    ans.n=a.n;ans.m=b.m;
    for (int i=0;i<a.n;i++)
        for (int j=0;j<a.m;j++)
            for (int k=0;k<b.m;k++)
                ans.a[i][k]=(ans.a[i][k]+mul(a.a[i][j],b.a[j][k]))%p;
    return ans;
}
ju pow(ju a,ll b)
{
    if (b==1) return a;
    ju c=pow(a,b/2);
    c=c*c;
    if (b%2==1) c=c*a;
    return c;
}
int main()
{
    cin>>b>>d>>n;
    if (n==1) {cout<<b;return 0;}
    if (n==0) {cout<<1;return 0;}
    t.a[0][0]=0ll;t.a[0][1]=1ll;t.a[1][0]=((d-b*b)/4)%p;t.a[1][1]=b%p;
    t.n=t.m=ans.n=2;ans.m=1;
    ans.a[0][0]=2;ans.a[1][0]=b%p;
    ans=pow(t,n-1)*ans;
    if (d!=b*b&&n%2==0) ans.a[1][0]=(ans.a[1][0]-1+p)%p;
    cout<<ans.a[1][0];
}