递归的思考

理论上的概念

• 1.函数的主要成分是一个循环，则此种解法叫做迭代，而当函数是通过不断调用自己解决问题的，那么此种解法就叫做递归。
• 2.递归既浪费时间，又浪费空间，所以递归的效率很低，在要求高性能、低内存的算法上递归不适用。要转换为迭代方法。
• 3.在迭代函数中必须有程序员自己完成的工作（参数入栈，出栈，转移，返回等）在递归函数中交由系统啦实现。通过隐藏某些实现细节，用时间和空间代价减少了程序设计的工作量，总的来说就是递归思路清晰，程序简洁。
• 4.尾递归是完全可以转换为while循环实现的，因为尾递归就相当于在程序的尾部把递归函数用程序不断替代，while完全可以实现。
• 5.递归函数内部一般由两部分定义，第一部分是终结情况，第二部分是递归步骤。
• 6.递归程序中的递归部分对本层次的程序功能不产生影响（如果递归函数中没有引用传递），分析程序的功能时对其中的递归部分可以只意会，不深究。
  

求解递归问题的心得：

1某些问题的求解，递归函数设计的正确性很大程度上取决于函数申明的设计（函数的参数以及函数的意义的定义）如hanoi问题。这种问题貌似在函数体中直接应用递归定义，就可以方便的实现递归过程，得到结果。

2.还有一些问题，递归方法比较复杂，函数体中不单纯的只有递归的存在。递归在函数体中只是作为解决方法的一个步骤（只是一小段代码）。求解问题的思想是逐步的，递归只是能够更好的实现这种逐步求解，例如8皇后问题。

递归程序分析

1.通过递归求a数组中的最大值（求a中的最大值，可以先求a左边的最大值la，在求a右边的最大值ra，a的最大值就是la和ra中的最大者）
int max(int* a, int s,int e)
{
	if(s==e)
		return a[s];
	else if(s+1==e)
		return max(a[s],a[e]);
	else
	{
		 int t=(s+e)/2;
		 int ta=max(a,s,t);
		 int tb=max(a,t+1,e);
		 return max(ta,tb);//max是math.H中的函数
	}
}

程序的正确性分析：

• 1.如果ta=max(a,s,t)能够求出（s，t）之间的最大值，同时tb=max(a,t+1,e)也成立，那么程序就是正确的。
• 2.ta=max(a,s,t)能否求出最大值呢，继续向下递归判断。发现一直递归下去的话，最终的满足终结条件的max递归函数是正确的。则回溯的话发现max（a,s,t）是可以正确返回的。同理tb=max(a,t+1,e)也是可以正确返回的，则1成立，则此程序成立。

2.将一个没有重复字符的字符串输出其所有中可能的排列（函数定义为从输出从pos位置到字符串结束的所有全排列）
void showAll(string s , int pos, int len)
{
	if(pos==len-1)
		cout<<s<<endl;
	else
		for(int i=pos;i<len;i++)
		{
			swap(s[pos],s[i]);
			showAll(s,pos+1,len);
		}
}

程序的正确性分析：

• 1.如果要是此函数正确，就要保证for循环中的len-1个showAll函数正确。
• 2.每一个showAll递归调用，直到pos到最后一个字符串末尾，此时showAll是正确的，回溯过程中，由于最后一个是正确的，可以推出倒数第二个showAll正确。由倒数第二层showAll正确，又可以推出倒数第三层showAll正确，最终可以证明此函数中for循环的第一个showAll正确，同理，其他的showAll正确，所有程序正确

3.hanoi问题.(这里可以发现，此函数能够正确的解决问题，完全是由于函数的定义很成功，所以在递归时可以很容易结合终结条件正确递归)
void hanoi(int n,char pa,char pb,char pc)
{
	if(n==1)
		cout<<pa<<"   "<<pc<<endl;
	else
	{
		hanoi(n-1,pa,pc,pb);
		cout<<pa<<"   "<<pc<<endl;
		hanoi(n-1,pb,pa,pc);
	}
}

程序正确性分析：

• 1.此函数的定义为：将n个盘子从pa借助pb转移到pc上，根据此定义，可见程序的结构是正确的。那么只要函数的这个定义在函数中能够正确实现，此函数即正确。
• 2.不断递归到最后，发现最后n=1时是能够正确实现程序的定义的，回溯过程与上一例相似，所以回溯也正确。此函数正确！

4.8皇后问题（描述：行、列、斜线都不能出现两个皇后）。遍历第i行的数据，当（i，j）可以作为皇后时，向下遍历i+1行情况，直到遍历到第8行。
void getAQ(int i,int data[][8])
{
	 int tmp[8][8];//可以入栈操作
	 for(int j=0;j<8;j++)
	 {
 		if(data[i][j]==0)
		{
			copy(tmp,data);//data-->tmp,可以保持回溯后每一层数据保持不变
			set(tmp,i,j);//设置j列，（i，j）的斜对角数据为0.
			if(i<7)
				getAQ(i+1,tmp);
			else
			{
				prt(tmp);//打印
				count++;//计数
			}
		}
	}
}

1.此递归函数就和上面的极度不相似，首先，其终止条件if ( i >= 7 )是写在循环内部的，而不是独立的。

2.此递归函数的申明貌似不能很好的说明整个问题的求解方法。问题的求解方法是一个一行一行向下的过程，函数的定义确定了问题的求解方式。而申明形式在此处显得不太重要。