向量的旋转

 

转载自：http://www.cppblog.com/guijie/archive/2009/03/16/76766.html 基础的2-D绕原点旋转 在2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中，我们有关系： 　　x0 = |R| * cosA 　　y0 = |R| * sinA 　　=> 　　cosA = x0 / |R| 　　sinA = y0 / |R| 　　在右图中，我们有关系： 　　x1 = |R| * cos（A+B） 　　y1 = |R| * sin（A+B） 　　其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋转角B后得到的点，也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos（A+B）和sin（A+B），得到 　　x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB） 　　y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB） 　　现在把 　　cosA = x0 / |R| 　　sinA = y0 / |R| 　　代入上面的式子，得到 　　x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|） 　　y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|） 　　=> 　　x1 = x0 * cosB - y0 * sinB 　　y1 = x0 * sinB + y0 * cosB 　　这样我们就得到了2-D迪卡尔坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式。顺时针旋转就把角度变为负： 　　x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B） 　　y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B） 　　=> 　　x1 = x0 * cosB + y0 * sinB 　　y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB 　　现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式，有一个概念我简单提一下，平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。好了，打住，不然就跑题了。 所以2-D旋转变换矩阵就是： [cosA  sinA]      [cosA -sinA] [-sinA cosA] 或者 [sinA cosA]