[机器学习必知必会]牛顿法和拟牛顿法

前言

同梯度下降法一样，牛顿法和拟牛顿法也是求解无约束最优化问题的常用方法。牛顿法本身属于迭代算法，每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵或海赛矩阵，简化了这一计算过程。

需要提前了解的知识

泰勒展开

当$f(x)$在$x=x_0$处具有$n$阶连续导数，我们可以用$x-x_0$的$n$次多项式逼近函数

公式：
$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R^n(x)$$
其中$R^n(x)$表示泰勒余项，它是$(x-x_0{)}^n$的高阶无穷小。

海森矩阵

Hessian Matrix，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率

以二元函数$f(x_1,x_2)$为例，它在$X^{(0)}(x_1^{(0)},x_2^{(0)})$点处的泰勒展开式为：
$$f(x_1,x_2)=f(x_1^{(0)},x_2^{(0)})+\frac{\partial f}{\partial x_1}{|}_{X^{(0)}}△x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}{|}_{X^{(0)}}△x_2+\frac{1}{2}[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}{|}_{X^{(0)}}△x_1^2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}{|}_{X^{(0)}}△x_1△x_2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}{|}_{X^{(0)}}△x_2^2]+...$$
其中$△x_1=x_1-x_1^{(0)},△x_2=x_2-x_2^{(0)}$
改写成矩阵形式：
$$f(X)=f(X^{(0)})+[\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial f}{\partial x_2}]{|}_{X^{(0)}}\left(\begin{array}{c}△x_1\\ △x_2\end{array}\right)+\frac{1}{2}(△x_1,△x_2)\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}\end{array}\right){|}_{X^{(0)}}\left(\begin{array}{c}△x_1\\ △x_2\end{array}\right)+...$$
即：
$$f(X)=f(X^{(0)})+▽f(X^{(0)}{)}^T△X+\frac{1}{2}△X^{T}H(X^{(0)})△X+...$$
其中$H(X^{(0)})$即二元函数$f(x_1,x_2)$在$X^{(0)}$点处的海森矩阵，即二阶偏导数组成的方阵；$▽f(X^{(0)})$是函数在该点处的梯度。

牛顿法

考虑无约束最优化问题：
$$\underset{x}{\min }f(x)$$

首先讨论单自变量情况

假设$f(x)$具有二阶连续导数，运用迭代的思想，我们假设第$k$次迭代值为$x^{(k)}$， 将$f(x)$进行二阶泰勒展开：
$$f(x)=f(x^{(k)})+f^{\prime }(x^{(k)})(x-x^{(k)})+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x^{(k)})(x-x^{(k)}{)}^2+R_2(x)$$

其中$R_2(x)$是$(x-x^{(k)}{)}^2$的高阶无穷小，也叫做泰勒余项。

由于二阶可导，函数$f(x)$有极值的必要条件是极值点处一阶导数为0，令$f^{\prime }(x)$为0解出$x^{(k+1)}$：
$$f^{\prime }(x^{(k)})+f^{\prime \prime }(x^{(k)})(x-x^{(k)})=0$$
$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\frac{f^{\prime }(x^{(k)})}{f^{\prime \prime }(x^{(k)})}$$
至此，当数列满足收敛条件时我们可以构造一个初始值$x^{(0)}$和上述递推公式得到一个数列{x(k)}\{x^{(k)}\}{x(k)}不停地逼近极小值点

多自变量的情况

按照前面海森矩阵的介绍，在多自变量情况下，二阶泰勒展开式可写为：
$$f(X)=f(X^{(k)})+▽f(X^{(k)}{)}^T△X+\frac{1}{2}△X^{T}H(X^{(k)})△X+...$$
函数$f(X)$极值必要条件要求它必须是$f(X)$的驻点，即：
$$▽f(X)=0$$
由于$▽f(X^{(k)})$和$H(X^{(k)})={▽}^{2}f(X^{(k)})$分别表示函数$f(X)$的梯度和海森矩阵取值为$X^{(k)}$的实值向量和实值矩阵，我们分别将其记为$g_k$和$H_k$，根据驻点解出$X^{(k+1)}$：
$$g_k+H_k(X-X^{(k)})=0$$
$$X^{(k+1)}=X^{(k)}-H_k^{-1}{g}_k$$
同样我们可以构造一个迭代数列不停地去逼近函数的最小值点。

拟牛顿法

在牛顿法的迭代过程中，需要计算海森矩阵$H^{-1}$，一方面有计算量大的问题，另一方面当海森矩阵非正定时牛顿法也会失效，因此我们考虑用一个$n$阶矩阵$G_k=G(X^{(k)})$来近似替代$H_k^{-1}=H^{-1}(X^{(k)})$。

拟牛顿条件

根据前面的迭代式子：
$$▽f(X)=g_k+H_k(X-X^{(k)})=0$$
取$X=X^{(k+1)}$， 我们可以得到：
$$g_{k+1}-g_k=H_k(X^{(k+1)}-X^{(k)})$$
记$y_k=g_{k+1}-g_k$,${\delta }_k=X^{(k+1)}-X^{(k)}$，那么可以得到：
$$y_k=H_k{\delta }_k$$
或
$$H_k^{-1}{y}_k={\delta }_k$$
上述两个式子就是拟牛顿条件。

常见的拟牛顿法

根据拟牛顿条件，我们可以构造不同的$G_k$，这里仅列出常用的几种拟牛顿法，可根据需要再学习具体实现。

• DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）
• BFGS算法（Broydeb-Fletcher-Goldfarb-Shanno）
• Broyden类算法

Reference

李航的《统计学习方法》