图像特征点检测和匹配-SURF算法

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SURF 算法，全称是 Speeded-Up Robust Features。该算子在保持 SIFT 算子优良性能特点的基础上，同时解决了 SIFT 计算复杂度高、耗时长的缺点，对兴趣点提取及其特征向量描述方面进行了改进，且计算速度得到提高。

1 构建Hessia矩阵

对一个像素点f（x，y），其Hessian矩阵如下：

在构造Hessian矩阵前需要对图像进行高斯滤波，经过滤波后的Hessian矩阵表述为：

在surf算法中，变换图为每个像素点高斯滤波后的Hessia矩阵的行列式近似值构成的，近似计算公式为：

其中，0.9为原文作者给出的一个经验值，目的平衡使用盒状滤波器带来的误差。下面解释盒装滤波器。
由于求Hessian时要先高斯平滑，然后求二阶导数，这在离散的像素点是用模板卷积形成的，这2种操作合在一起用一个模板代替就可以了，比如下图1表示二维高斯函数对y求2阶导数，得到y方向上的模板，以9*9的模板为例，近似处理为图3，图中灰色部分为0，黑色为-2，白色为1；同理图4为近似的二维高斯函数对x和y求偏导的模板，其中图2和图4就是盒装滤波器。

有了这个近似的模板以后，计算高斯滤波和二阶导数两个步骤就可以一个步骤完成，同时，为了提高计算效率，还引入了积分图像的概念，提高了速度。 积分图像概念可参考转载博文。

2 构造高斯金字塔

在sift算法中，每一组（octave）的图像大小是不一样的，下一组是上一组图像的降采样（1/4大小）；在每一组里面的几幅图像中，他们的大小是一样的，不同的是他们采用的尺度σ不同。而且在模糊的过程中，他们的高斯模板大小总是不变的，只是尺度σ改变。对于surf算法，图像的大小总是不变的，改变的只是高斯模糊模板的尺寸，当然，尺度σ也是在改变的。

上图中a为高斯模板保持不变，图像大小改变的情况，适用于sift算法，图b是高斯模板改变，图像大小保持不变的情况，适用于surf算法。因为surf算法没有了降采样的过程，因此处理速度得到提高。

3 特征点定位

首先初步定为特征点，如下图，将经过hessian矩阵处理过的每个像素点与其3维领域的26个点进行大小比较，如果它是这26个点中的最大值或者最小值，则保留下来，当做初步的特征点。

然后，跟sift算法类似，采用3维线性插值法得到亚像素级的特征点，同时也去掉那些值小于一定阈值的点。

4 确定特征点主方向

为了保证旋转不变性，在SURF中，不统计其梯度直方图，而是统计特征点领域内的Harr小波特征。即以特征点为中心，计算半径为6s(S为特征点所在的尺度值)的邻域内，统计60度扇形内所有点在x(水平)和y(垂直)方向的Haar小波响应总和(Haar小波边长取4s)，并给这些响应值赋高斯权重系数，使得靠近特征点的响应贡献大，而远离特征点的响应贡献小，然后60度范围内的响应相加以形成新的矢量，遍历整个圆形区域，选择最长矢量的方向为该特征点的主方向。这样，通过特征点逐个进行计算，得到每一个特征点的主方向。该过程的示意图如下：

5 构造特征描述子

在特征点周围取一个正方形框，框的边长为20s(s是所检测到该特征点所在的尺度)。该框带方向，方向当然就是第4步检测出来的主方向了。然后把该框分为16个子区域，每个子区域统计25个像素的水平方向和垂直方向的haar小波特征，这里的水平和垂直方向都是相对主方向而言的。该haar小波特征为水平方向值之和，水平方向绝对值之和，垂直方向之和，垂直方向绝对值之和。该过程的示意图如下所示：

这样每个小区域就有4个值，所以每个特征点就是16*4=64维的向量，相比sift而言，少了一半，这在特征匹配过程中会大大加快匹配速度。
（特征点匹配利用特征向量的欧氏距离来确定匹配度，欧氏距离越短，匹配度越好。）
综上所述，可知SURF采用Henssian矩阵获取图像局部最值还是十分稳定的，但是在求主方向阶段太过于依赖局部区域像素的梯度方向，有可能使得找到的主方向不准确，后面的特征向量提取以及匹配都严重依赖于主方向，即使不大偏差角度也可以造成后面特征匹配的放大误差，从而匹配不成功；另外图像金字塔的层取得不足够紧密也会使得尺度有误差，后面的特征向量提取同样依赖相应的尺度，在这个问题上我们只能采用折中解决方法：取适量的层然后进行插值。