Python中一维向量和一维向量转置相乘

本文介绍在Python中如何实现一维列向量与其转置相乘以获得一个n*n的矩阵。文章提供了通过使用reshape方法来解决这一问题的方法。

在Python中有时会碰到需要一个一维列向量(n*1)与另一个一维列向量(n*1)的转置(1*n)相乘,得到一个n*n的矩阵的情况。但是在python中,


我们发现,无论是“.T”还是“np.transpose”都无法实现一维向量的转置,相比之下,Matlab一句“ a' ”就能实现了。

那怎么实现呢?我找了个方法。请看:


即,我们把向量reshape一下,如此便实现了一维向量与一维向量转置相乘为矩阵的目的。

若大家有其他方法望告知。

将一个秩一(rank-1)矩阵表示为两个一维向量的乘积是矩阵分解中的一种特殊情况。在数学上,一个秩一矩阵可以被分解为一个列向量一个行向量的乘积。 假设有一个秩一矩阵 $ A \in \mathbb{R}^{m \times n} $,它可以表示为: $$ A = u v^T $$ 其中: - $ u \in \mathbb{R}^{m} $ 是一个列向量; - $ v \in \mathbb{R}^{n} $ 是一个列向量; - $ v^T $ 是 $ v $ 的转置,即一个行向量。 这样,矩阵 $ A $ 中的每个元素 $ A_{ij} $ 可以表示为 $ u_i v_j $,即: $$ A_{ij} = u_i v_j $$ ### 具体计算步骤 1. 确定矩阵 $ A $ 是秩一矩阵。可以通过计算矩阵的奇异值分解(SVD)来验证其秩是否为1。 2. 对矩阵 $ A $ 进行奇异值分解,得到: $$ A = U \Sigma V^T $$ 其中 $ U $ $ V $ 是正交矩阵,$ \Sigma $ 是对角矩阵,其对角线上的元素是奇异值。 3. 选择最大的奇异值 $ \sigma_1 $,并取对应的左奇异向量 $ u_1 $ 右奇异向量 $ v_1 $。 4. 构造两个向量: - $ u = \sqrt{\sigma_1} \cdot u_1 $ - $ v = \sqrt{\sigma_1} \cdot v_1 $ 5. 最终得到矩阵 $ A $ 的秩一近似形式: $$ A \approx u v^T $$ ### 示例代码 以下是一个 Python 示例,使用 NumPy 进行秩一矩阵分解: ```python import numpy as np # 假设有一个秩一矩阵 A A = np.array([[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]]) # 对矩阵 A 进行奇异值分解 (SVD) U, S, Vt = np.linalg.svd(A) # 取最大的奇异值 σ1 对应的左右奇异向量 u1 v1 sigma1 = S[0] u1 = U[:, 0] v1 = Vt[0, :] # 构造两个向量 u v u = np.sqrt(sigma1) * u1 v = np.sqrt(sigma1) * v1 # 计算秩一近似矩阵 A_approx A_approx = np.outer(u, v) print("原始矩阵 A:") print(A) print("秩一近似矩阵 A_approx:") print(A_approx) print("误差 (原始矩阵与近似矩阵的差):") print(A - A_approx) ``` ### 输出结果 运行上述代码后,将得到以下结果: ``` 原始矩阵 A: [[1 2 3] [2 4 6] [3 6 9]] 秩一近似矩阵 A_approx: [[1. 2. 3.] [2. 4. 6.] [3. 6. 9.]] 误差 (原始矩阵与近似矩阵的差): [[0. 0. 0.] [0. 0. 0.] [0. 0. 0.]] ``` ### 分析 - 由于矩阵 $ A $ 是秩一矩阵,因此通过 SVD 分解后,其近似矩阵 $ A_{\text{approx}} $ 与原始矩阵完全一致。 - 如果矩阵 $ A $ 的秩大于 1,则近似矩阵 $ A_{\text{approx}} $ 会与原始矩阵存在误差,但可以作为低秩近似的一种形式。 通过这种方法,可以有效地将秩一矩阵表示为两个一维向量的乘积 [^1]。 ---
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