康拓展开

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康托展开：

X = an * (n - 1)! + an - 1 * (n - 2)! + ...+ ai * (i - 1)! + ... + a2 * 1! + a1 * 0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

 

应用实例：

{1, 2, 3, 4, ..., n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 {1, 2, 3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

的{1, 2, 3}排列数有2 * 2! + 1 * 1! = 5个。所以321是第6个大的数。2 * 2! + 1 * 1!是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0 * 3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0 * 3! + 1 * 2! + 0 * 1! = 2个，1324是第三个大数。

int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320}; //i的阶乘为fac[i]
/*  康托展开.
    {1...n}的全排列由小到大有序，s[]为第几个数  */
int KT(int n, int s[]) {
    int t, sum;
    sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        t = 0;
        for(int j = i + 1; j < n; ++j)
            if (s[j] < s[i]) t++;
        sum += t * fac[n-i-1];
    }
    return sum + 1;
}

康托展开的逆运算：

 

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序，要找出第16个数：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1

所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

/*  康托展开的逆运算.
    {1...n}的全排列，中的第k个数为s[]  */
void invKT(int n, int k, int s[]) {
    int t, vst[8]= {0}, j;
    k--;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        t = k / fac[n-i-1];
        for (j = 1; j <= n; ++j)
            if (!vst[j]) {
                if (t == 0) break;
                t--;
            }
        s[i] = j;
        vst[j] = 1;
        k %= fac[n-i-1];
    }
}