图的相关介绍和实现
1. 图基本介绍
1.1 为什么要有图
- 前面我们学了线性表和树
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图
1.2 图的举例说明
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：
2. 图的常用概念
3. 图的表示方式
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
3.1 邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。
3.2 邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。
4. 图的快速入门案例
要求: 代码实现如下图结构.
/**
* 图
* @author Wnlife
* @create 2020-01-26 20:18
*/
public class Graph {
/**
* 存储顶点的集合
*/
private ArrayList<String> vertexList;
/**
* 存储图对应的邻接矩阵
*/
private int[][] edges;
/**
* 表示边的数目
*/
private int numOfEdges;
public static void main(String[] args) {
//顶点数
int n=5;
//节点
String[] vertexs = {"A", "B", "C", "D", "E"};
//创建图对象
Graph graph=new Graph(n);
//循环增加顶点
for (String vertex : vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//增加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
//打印图
graph.showGraph();
}
/**
* 构造函数，初始化图
*
* @param n 顶点的个数
*/
public Graph(int n) {
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<>(n);
numOfEdges = 0;
}
/**
* 返回图中的节点数
* @return 节点数
*/
public int getVertexs(){
return vertexList.size();
}
/**
* 显示图对应的矩阵
*/
public void showGraph(){
Arrays.stream(edges).forEach((v)->{
System.out.println(Arrays.toString(v));
});
}
/**
* 得到边的数目
* @return 得到边的数目
*/
public int getNumOfEdges(){
return numOfEdges;
}
/**
* 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
* @param i 下标
* @return 数据
*/
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
/**
* 返回两个节点的权值
* @param v1 第一个顶点的下标
* @param v2 第二个顶点的下标
* @return 权值
*/
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
/**
* 插入顶点
*
* @param vertex 要插入的顶点
*/
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
/**
* 增加一条边
*
* @param v1 表示第一个顶点的下标
* @param v2 表示第一个顶点的下标
* @param weight 表示权重
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
5. 图的遍历-深度优先搜索 （DFS）
- 图的遍历介绍
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:
(1)深度优先遍历
(2)广度优先遍历 - 深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) ：
1）深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2）我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3）显然，深度优先搜索是一个递归的过程 - 深度优先遍历算法步骤
1）访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
2）查找结点v的第一个邻接结点w。
3）若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
4）若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5）若w已被访问，查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。 - 看一个具体案例分析:
要求：对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历
代码实现：
/**
* 深度优先遍历
* @param isVisited 记录每个接地那是否被访问过的数组
* @param v 当前节点
*/
private void dfs(boolean[] isVisited, int v) {
//输出当前节点的值
System.out.print(getValueByIndex(v) + "->");
//将当前节点标记为读过
isVisited[v]=true;
//返回当前节点的第一个邻接节点
int w = getFirstNeighbor(v);
while (w != -1) {
//如果第一个邻接节点没有被访问过
if(!isVisited[w]){
dfs(isVisited,w);
}
//如果被访问过，则找下一个邻接节点
w=getNextNeighbor(v,w);
}
}
/**
* dfs重载
*/
public void dif(){
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if(!isVisited[i]){
dfs(isVisited,i);
}
}
}
6. 图的遍历-广度优先搜索 （BFS）
- 广度优先遍历基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。 - 广度优先遍历算法步骤
1 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2 结点v入队列
3 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4 出队列，取得队头结点u。
5 查找结点u的第一个邻接结点w。
6 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。 - 代码实现
示意图：
代码：
/**
* 广度优先遍历
* @param isVisited: 记录每个接地那是否被访问过的数组
* @param v: 当前节点
*/
private void bfs(boolean[]isVisited,int v){
int u;
int w;
//存储已访问数组的对列
LinkedList<Integer> queue=new LinkedList<>();
//访问当前节点
System.out.print(getValueByIndex(v)+"->");
isVisited[v]=true;
//将当前已经访问的值入列
queue.addLast(v);
while (!queue.isEmpty()){
//取出对列的第一个元素
u=(Integer) queue.removeFirst();
//根据第一个元素得到他的邻接节点
w = getFirstNeighbor(u);
while (w!=-1){
//没有被访问过
if(!isVisited[w]){
//访问w
System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
isVisited[w]=true;
queue.addLast(w);
}
//继续以u为基础节点，下一个邻接节点
w=getNextNeighbor(u,w);
}
}
}
/**
* 广度优先遍历的重载
*/
public void bfs(){
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if(!isVisited[i]){
bfs(isVisited,i);
}
}
}
7. 图的深度优先VS 广度优先
8. 图部分的完整代码
/**
* 图
*
* @author Wnlife
* @create 2020-01-26 20:18
*/
public class Graph {
/**
* 存储节点的集合
*/
private ArrayList<String> vertexList;
/**
* 存储图对应的邻接矩阵
*/
private int[][] edges;
/**
* 表示边的数目
*/
private int numOfEdges;
/**
* 记录每个节点是否被访问过
*/
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//节点数
int n=5;
//节点
String[] vertexs = {"A", "B", "C", "D", "E"};
//创建图对象
Graph graph=new Graph(n);
//循环增加节点
for (String vertex : vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//增加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
//打印图
graph.showGraph();
//测试dfs
System.out.println("dfs");
graph.dif();
System.out.println("\n-----------");
//测试bfs
System.out.println("bfs");
graph.bfs();
}
/**
* 构造函数，初始化图
* @param n 节点的个数
*/
public Graph(int n) {
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<>(n);
numOfEdges = 0;
}
/**
* 寻找当前节点的第一个邻接节点
* @param index 当前节点的角标
* @return 返回邻接节点的下标，没有找到就返回-1.
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[index][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 若当前节点的第一个邻接节点被访问过，则根据当前节点和第一个邻接节点，
* 返回当前节点的下一个邻接节点。
* @param v1 当前节点
* @param v2 当前节点的第一个邻接节点
* @return 当前节点的下一个邻接节点
*/
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[v1][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 深度优先遍历
* @param isVisited 记录每个接地那是否被访问过的数组
* @param v 当前节点
*/
private void dfs(boolean[] isVisited, int v) {
//输出当前节点的值
System.out.print(getValueByIndex(v) + "->");
//将当前节点标记为读过
isVisited[v]=true;
//返回当前节点的第一个邻接节点
int w = getFirstNeighbor(v);
while (w != -1) {
//如果第一个邻接节点没有被访问过
if(!isVisited[w]){
dfs(isVisited,w);
}
//如果被访问过，则找下一个邻接节点
w=getNextNeighbor(v,w);
}
}
/**
* dfs重载
*/
public void dif(){
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if(!isVisited[i]){
dfs(isVisited,i);
}
}
}
/**
* 广度优先遍历
* @param isVisited: 记录每个接地那是否被访问过的数组
* @param v: 当前节点
*/
private void bfs(boolean[]isVisited,int v){
int u;
int w;
//存储已访问数组的对列
LinkedList<Integer> queue=new LinkedList<>();
//访问当前节点
System.out.print(getValueByIndex(v)+"->");
isVisited[v]=true;
//将当前已经访问的值入列
queue.addLast(v);
while (!queue.isEmpty()){
//取出对列的第一个元素
u=(Integer) queue.removeFirst();
//根据第一个元素得到他的邻接节点
w = getFirstNeighbor(u);
while (w!=-1){
//没有被访问过
if(!isVisited[w]){
//访问w
System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
isVisited[w]=true;
queue.addLast(w);
}
//继续以u为基础节点，下一个邻接节点
w=getNextNeighbor(u,w);
}
}
}
/**
* 广度优先遍历的重载
*/
public void bfs(){
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if(!isVisited[i]){
bfs(isVisited,i);
}
}
}
/**
* 返回图中的节点数
* @return 节点数
*/
public int getVertexs(){
return vertexList.size();
}
/**
* 显示图对应的矩阵
*/
public void showGraph(){
Arrays.stream(edges).forEach((v)->{
System.out.println(Arrays.toString(v));
});
}
/**
* 得到边的数目
* @return 得到边的数目
*/
public int getNumOfEdges(){
return numOfEdges;
}
/**
* 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
* @param i 下标
* @return 数据
*/
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
/**
* 返回两个节点的权值
* @param v1 第一个节点的下标
* @param v2 第二个节点的下标
* @return 权值
*/
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
/**
* 插入节点
* @param vertex 要插入的节点
*/
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
/**
* 增加一条边
* @param v1 表示第一个节点的下标
* @param v2 表示第一个节点的下标
* @param weight 表示权重
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
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