洛谷P3760 - [TJOI2017]异或和

求序列连续和的异或和

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原文链接：http://www.cnblogs.com/VisJiao/p/LgP3760.html

本文介绍了一种利用线段树或树状数组解决序列连续子序列和的异或和问题的方法，通过前缀和及按位考虑，实现了O(nlog^2(Σa_i))的时间复杂度。

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Description

给出一个\(n(n\leq10^5)\)的序列\(\{a_n\}(\Sigma a_i\leq10^6)\)，求该数列所有连续和的异或和。

Solution

线段树/树状数组。
首先做出前缀和\(p\)，然后按位考虑答案上的值。考虑\(2^k\)这一位，有多少个连续和\([i,j]\)在\(2^k\)位为\(1\)。我们发现，\(x\)在\(2^k\)位上为\(1⇔x \bmod 2^{k+1}\in[2^k,2^{k+1}-1]\)。那么对于每一个\(j\)，求出有多少个\(i<j\)满足\((p_j-p_i) \bmod 2^{k+1}\in[2^k,2^{k+1}-1]\)，即\(p_i\in[p_j-2^{k+1}+1,p_j-2^k] \pmod {2^{k+1}}\)。那么我们只要用线段树来做就好啦。注意这个区间有可能由于取模而被分成两半，要分别来求。

时间复杂度\(O(nlog^2(\Sigma a_i))\)。

Code

//[TJOI2017]异或和
#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long lint;
inline char gc()
{
    static char now[1<<16],*s,*t;
    if(s==t) {t=(s=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(s==t) return EOF;}
    return *s++;
}
inline int read()
{
    int x=0; char ch=gc();
    while(ch<'0'||'9'<ch) ch=gc();
    while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x;
}
const int N=1e5+10;
int n; lint pre[N];
const int N1=4e6;
int cnt,rt,ch[N1][2]; int sum[N1];
inline void update(int p) {sum[p]=sum[ch[p][0]]+sum[ch[p][1]];}
void ins(int &p,int L0,int R0,int x)
{
    if(!p) p=++cnt;
    if(L0==R0) {sum[p]++; return;}
    int mid=L0+R0>>1;
    if(x<=mid) ins(ch[p][0],L0,mid,x);
    else ins(ch[p][1],mid+1,R0,x);
    update(p);
}
int optL,optR;
int query(int p,int L0,int R0)
{
    if(!p) return 0;
    if(optL<=L0&&R0<=optR) return sum[p];
    int mid=L0+R0>>1; int res=0;
    if(optL<=mid) res+=query(ch[p][0],L0,mid);
    if(mid<optR) res+=query(ch[p][1],mid+1,R0);
    return res;
}
int check(lint m)
{
    cnt=0; rt=++cnt;
    memset(ch,0,sizeof ch);
    memset(sum,0,sizeof sum);
    lint m1=m<<1,res=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        lint x=pre[i]%m1,y=x-m;
        if(y<0) optL=x+1,optR=y+m1,res+=query(rt,0,m1-1);
        else
        {
            optL=0,optR=y; res+=query(rt,0,m1-1);
            optL=x+1,optR=m1-1; if(optL<=optR) res+=query(rt,0,m1-1);
        }
        ins(rt,0,m1-1,x);
    }
    return res&1;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-1]+read();
    lint ans=0;
    for(lint i=1;i<=pre[n];i<<=1) if(check(i)) ans|=i;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}