递归和动态规划的转换

最近重新研读了下《挑战程序设计》对动态规划和递归的关系有了点新的理解，之前的理解过于机械化，单纯的以为根据递推公式可以直接写DP代码。

通俗的来说，

递归 是  考虑所有的情况，一般使用搜索（DFS /BFS）来实现。

在那些 可以转换为 DP 的递归算法中， 必定有很多重复的情况。

比如要做以下算术

1 + 1

1 + 1 + 1

2 + 1 + 1

3 + 1 + 1  

那么如果用遍历思维，也是符合人类习惯的思维之一，我们会：

1+1=2

1 + 1 =2  ;  2+1 =3

2 + 1 =3 ;  3+1 =4 ; 

3 + 1=4; 4+1 =5;  

共 7次。

而如果我们聪明点的话，我们可以把一些已经计算的过程记录下来

1+1 =2               =>                   add[1][1]= 2

add[1][1] =2     ;    2 +1 =3    =>           add[2][1] =3

add[2][1]=3  ;  3+1 = 4 =>  add[3][1] =4;

add[3][1] =4; 4+1=5  =>  add[4] [1] =5 ;

共 4次运算。因为add[][]是一个数字，可以直接返回。

可能 加法运算让大家感觉不到优势在哪里， 如果 把  + 号  当作是一个 很复杂的运算， 那么这种优化就十分有价值了。

这种优化方法 叫做  记忆化搜索 方法。

这种方法和 递归 剪枝  有本质的区别， 剪枝 法是把那些根本不可能的分枝去掉，而没有 对 遍历过程中存在的循环去掉，所以计算量等级上没有变化。

使用了 记忆化搜索 优化的递归算法，其时间复杂度 和  转换后的DP算法是一致的。

所以我们有以下定义成立：

一般可以使用记忆化搜索进行优化的递归算法，我们可以使用DP来进行优化。

至于如何公式化的，通用化的把 递归转变为 DP，还需要继续理解理解。