”父母子女身高“数据集（高尔顿数据集）进行线性回归分析实验

一、配置Excel

实验将使用到Excel的数据分析工具，一般情况下是没有的，需要添加

选择‘文件’——>‘选项’——>‘加载项’——>‘分析工具库’——>‘确定’添加至数据版面中

二、对数据做线性回归分析

1、对数据散点图分析

初步看出散点图中父母的身高数据还比较有迹可循，说明这组数据集是有规律的；同时，数据中有许多数据是重复的，我们先对数据进行去除重复的处理

在数据工具栏中找到删除重复值，同时选择所有的数据

2、做数据回归分析

在数据分析工具中选择回归

选择好X、Y数据的区域，如果要选择标题，则添加标志打勾，否则在所选数据中出现非数值会报错

分析完成后如图所示

我们先对几个表格的数据进行一些认识

（1）第一部分：回归统计表

这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下

回归统计
Multiple R	0.325411452
R Square	0.105892613
Adjusted R Square	0.103608814
标准误差	3.425046607
观测值	786

逐行说明如下：

Multiple对应的数据是相关系数(correlation+coefficient)，即R=0.325411452。

R Square对应的数值为测定系数(determination+coefficient)，或称拟合优度(goodness+of+fit)，它是相关系数的平方，即有R^{2=0.325411452}2=0.105892613。

Adjusted对应的是校正测定系数(adjusted+determination+coefficient)

标准误差（standard error）对应的即所谓标准误差

最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n=786

（2）第二部分：方差分析表

方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F值、P值等

方差分析
	df	SS	MS	F	Significance F
回归分析	2	1087.854	543.9271	46.36687	9.31238E-20
残差	783	9185.329	11.73094
总计	785	10273.18

逐列、分行说明如下：

第一列df对应的是自由度（degree of freedom），第一行是回归自由度dfr，等于变量数目，即dfr=m；第二行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n-m-1；第三行为总自由度dft，等于样本数目减1，即有dft=n-1。对于本例，m=1，n=10，因此，dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9。

第二列SS对应的是误差平方和，或称变差。第一行为回归平方和或称回归变差SSr；第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe，它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。上述的y的标准误差即由SSe给出。第三行为总平方和或称总变差SSt；它表示的是因变量对其平均值的总偏差。容易验证1087.854+9185.329=10273.18

第三列MS对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。第一行为回归均方差MSr；第二行为剩余均方差MSe

第四列对应的是F值，用于线性关系的判定。

第五列Significance F对应的是在显著性水平下的Fα临界值，其实等于P值，即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P便是模型为真的概率。可见P值是越小越好，其置信度随之越高

（3）第三部分，回归参数表

回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数

	Coefficients	标准误差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	22.7434805	4.611611	4.931787	9.95E-07	13.69089635	31.79606	13.6909	31.79606
Father(父亲身高,单位英寸)	0.367848789	0.049953	7.363929	4.53E-13	0.269791545	0.465906	0.269792	0.465906
Mother(母亲身高,单位英寸)	0.290144236	0.052798	5.495356	5.28E-08	0.186501698	0.393787	0.186502	0.393787

第一列Coefficients对应的模型的回归系数，包括截距a=22.7434805和分别的斜率b=0.367848789/0.290144236，由此可以建立回归模型

第二列为回归系数的标准误差，误差值越小，表明参数的精确度越高

第三列t Stat对应的是统计量t值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定

第四列P value对应的是参数的P值。当P<0.05时，可以认为模型在α=0.05的水平上显著，或者置信度达到95%；当P<0.01时，同理可以认为置信度达到了99%；当P<0.001时，可以认为模型的置信度达到了99.9%。

（4）第四部分，残差输出结果

这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。

认识完了之后，我们点击生成的回归散点图进行绘制趋势线，并显示出来回归方程和R平方值

由表和图可读出

相关系数R=0.325411452、均方差为MS=543.9271、P值为9.95^-7。由上我们便可以得出父母与儿子的回归方程y=22.743+0.367x1+0.29x2

三、父亲母亲分别与儿子做回归方程分析

1、父亲与儿女数据分析

与上同样的做数据重复删除处理

同样做数据分析后得出回归方程及R2的值

由此图的R^2值可以看出，父亲身高与子女身高的线性相关性较弱。P值远小于0.01，其表明得到的回归方程是可靠的

由原数据表和得出的预测值表相对比，我们可以预测到如果父亲的身高为75英寸，则女儿身高为69.005

2、母亲与儿女身高数据分析

同上做删除重复数据处理

做同上操作，数据处理后如下图显示

其中P值远小于0.01，其方程是可靠的。其中R^2值0.05，表明其线性相关程度不高

综上我们可以知道，父母身高对儿女身高的影响度并没有太大的关系