本文探讨了在解决需要枚举两个变量的复杂问题时，如何通过寻找单调性和构造大数据集来优化算法效率。同时强调了检查长表达式的重要性以及在编程中构建测试案例来验证代码正确性的必要性。
中文题面：
【描述】
你有N个矩形（编号从1到N）。所有矩形的四个角的坐标都是整数，并且两组对边分别平行于X和Y两坐标轴。不同的矩形可能接触，但是不会重叠。
现在你的任务是：选出一些矩形，使它们恰好拼成一个正方形。
【输入】
第一行，一个整数N，为矩形的数目。
以下N行，每行四个整数x1, y1, x2, y2，描述一个左下角为(x1, y1)，右上角为(x2, y2)的矩形。这N行中的第i行描述的是编号为i的矩形。
【输出】
如果存在这样的子集：
在第一行输出”YES”，后接一个空格，后接这个子集的大小k。
第二行，k个整数，用一个空格分隔，分别为子集中各矩形的编号。
当有多解时，你可以输出任意一个解。
否则：
输出一行”NO”。
【样例输入】
9
0 0 1 9
1 0 9 1
1 8 9 9
8 1 9 8
2 2 3 6
3 2 7 3
2 6 7 7
5 3 7 6
3 3 5 6
【样例输出】
YES 5
5 6 7 8 9
【数据范围】
N≤10^5，0≤x1＜x2≤3000，0≤y1＜y2≤3000。
————————————————————By faebdc
这个题我和大多数人一样写的3000*N的暴力，但是我想了想，其实这个范围。。就是专门为这种暴力而生的好么。因为假如一条对角线上的点太多，那么一不小心就会搞出一个正方形，然后就不跑了，所以一条对角线上的点多不起来，然后暴力就跑的飞快。
其实如果真想让大家写标算的话，完全可以把坐标范围开到10^9…
但是我写暴力的时候出现了非常蛋疼的问题，那就是判正方形的时候我写了个特别长的表达式结果轻松吃翔。。。
所以，写长表达式的时候一定要检查检查再检查！
下面讲一讲标算吧（我花了好久才看懂的超级长的英文！）。
①首先一件事情是求每个点向四周延伸的最远距离，我是用并查集搞的，非常的吃屎。但是其实不用那么麻烦，存一下与每个点相连的点，然后一遍sort+两遍DP就行了。。但是这里有个蛋痛的地方就是需要把每个点hash一下，而如果直接二分的话常数非常非常大非常非常大，所以考虑到坐标比较小，可以直接用数组记一下哪个坐标映射到哪个数，这样就好了。
②但是！如果从并查集的角度是很难有进一步突破的，但是如果从DP的角度思考，就会发现一件很重要的事情！对于(x1,y1),(x2,y2),x1
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
typedef pair<int,int> ii;
ii point[400005];
int cha(ii a){
return a.first-a.second;
}
bool cmp(ii a,ii b){
return cha(a)!=cha(b)?cha(a)<cha(b):a<b;
}
void in(int &x){
char c=getchar();
x=0;
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+(c^'0');
}
int x1[100005],y1[100005],x2[100005],y2[100005];
int heng[400005],shu[400005];
int find(int fa[],int x){
return fa[x]!=fa[fa[x]]?fa[x]=find(fa,fa[x]):fa[x];
}
bool covered[3005][3005];
int s[3005][3005];
int rep[3005][3005];
bool pd(int x1,int y1,int x2,int y2){
//printf("S:shiji=%d qiwang=%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1]-s[x1][y2]+s[x1][y1],(x2-x1)*(y2-y1));
return (x2-x1)*(y2-y1)==s[x2][y2]-s[x2][y1]-s[x1][y2]+s[x1][y1]&&~rep[x2][y1]&&~rep[x1][y2]&&find(heng,rep[x1][y1])==find(heng,rep[x2][y1])&&find(heng,rep[x1][y2])==find(heng,rep[x2][y2])&&find(shu,rep[x1][y1])==find(shu,rep[x1][y2])&&find(shu,rep[x2][y1])==find(shu,rep[x2][y2]);
}
int main(){
freopen("rectangle.in","r",stdin);
//freopen("rectangle_TA.out","w",stdout);
int N,i,j,k;
in(N);
for(i=N;i--;){
in(x1[i]),in(y1[i]),in(x2[i]),in(y2[i]);
point[i<<2]=make_pair(x1[i],y1[i]);
point[i<<2|1]=make_pair(x1[i],y2[i]);
point[i<<2|2]=make_pair(x2[i],y1[i]);
point[i<<2|3]=make_pair(x2[i],y2[i]);
for(j=x2[i];j>x1[i];--j)
for(k=y2[i];k>y1[i];--k)
covered[j][k]=1;
}
sort(point,point+(N<<2),cmp);
int ptot=unique(point,point+(N<<2))-point;
//for(i=0;i<ptot;++i)printf("%d:%d,%d->%d\n",i,point[i].first,point[i].second,cha(point[i]));
for(i=ptot;i--;)heng[i]=shu[i]=i;
memset(rep,-1,sizeof(rep));
for(i=ptot;i--;)rep[point[i].first][point[i].second]=i;
for(i=N;i--;){
heng[find(heng,rep[x1[i]][y1[i]])]=find(heng,rep[x2[i]][y1[i]]);
heng[find(heng,rep[x1[i]][y2[i]])]=find(heng,rep[x2[i]][y2[i]]);
shu[find(shu,rep[x1[i]][y1[i]])]=find(shu,rep[x1[i]][y2[i]]);
shu[find(shu,rep[x2[i]][y1[i]])]=find(shu,rep[x2[i]][y2[i]]);
}
for(i=1;i<=3000;++i)
for(j=1;j<=3000;++j)
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+covered[i][j];
for(i=0;i<ptot;++i)
for(j=i+1;j<ptot&&cha(point[i])==cha(point[j]);++j)
if(pd(point[i].first,point[i].second,point[j].first,point[j].second)){
int ans=0;
for(k=N;k--;)
if(x1[k]<point[j].first&&y1[k]<point[j].second&&x2[k]>point[i].first&&y2[k]>point[i].second)
++ans;
printf("YES %d\n",ans);
bool flag=0;
for(k=N;k--;)
if(x1[k]<point[j].first&&y1[k]<point[j].second&&x2[k]>point[i].first&&y2[k]>point[i].second){
if(flag)putchar(' ');
else flag=1;
printf("%d",N-k);
}
puts("");
return 0;
}
puts("NO");
printf("%f\n",(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);
}Code（单调队列+DP）：
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<process.h>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct PS{
int x,y;
int up,down,left,right;
bool operator == (const PS & o) const{
return x==o.x&&y==o.y;
}
bool operator <= (const PS & o)const{
return x<o.x||x==o.x&&y<=o.y;
}
bool operator < (const PS & o)const{
return x<o.x||x==o.x&&y<o.y;
}
}point[400005],* pend,stack[3005];
int top;
int cha(PS point){
return point.x-point.y;
}
bool equal(PS a,PS b){
return cha(a)==cha(b);
}
bool ocmp(const PS & a,const PS & b){
return a.x!=b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;
}
bool chacmp(const PS & a,const PS & b){
return cha(a)!=cha(b)?cha(a)<cha(b):a<=b;
}
int data(PS a){
return min(a.up,a.right);
}
void in(int &x){
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
x=0;
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';
}
int cct[400005][10],num[400005];
int x1[100005],x2[100005],y1[100005],y2[100005];
int s[3005][3005],rep[3005][3005];
int main(){
freopen("rectangle.in","r",stdin);
freopen("rectangle.out","w",stdout);
int N,i,j,k;
in(N);
for(i=N;i--;){
in(x1[i]),in(y1[i]),in(x2[i]),in(y2[i]);
point[i<<2]=(PS){x1[i],y1[i]};
point[i<<2|1]=(PS){x1[i],y2[i]};
point[i<<2|2]=(PS){x2[i],y1[i]};
point[i<<2|3]=(PS){x2[i],y2[i]};
for(j=x2[i];j>x1[i];--j)
for(k=y2[i];k>y1[i];--k)
s[j][k]=1;
}
for(i=1;i<3001;++i)
for(j=1;j<3001;++j)
s[i][j]+=s[i][j-1]+s[i-1][j]-s[i-1][j-1];
sort(point,point+(N<<2),ocmp);
pend=unique(point,point+(N<<2));
for(i=pend-point;i--;)rep[point[i].x][point[i].y]=i;
for(i=N;i--;){
cct[rep[x1[i]][y1[i]]][num[rep[x1[i]][y1[i]]]++]=rep[x1[i]][y2[i]],cct[rep[x1[i]][y1[i]]][num[rep[x1[i]][y1[i]]]++]=rep[x2[i]][y1[i]];
cct[rep[x1[i]][y2[i]]][num[rep[x1[i]][y2[i]]]++]=rep[x1[i]][y1[i]],cct[rep[x1[i]][y2[i]]][num[rep[x1[i]][y2[i]]]++]=rep[x2[i]][y2[i]];
cct[rep[x2[i]][y1[i]]][num[rep[x2[i]][y1[i]]]++]=rep[x1[i]][y1[i]],cct[rep[x2[i]][y1[i]]][num[rep[x2[i]][y1[i]]]++]=rep[x2[i]][y2[i]];
cct[rep[x2[i]][y2[i]]][num[rep[x2[i]][y2[i]]]++]=rep[x1[i]][y2[i]],cct[rep[x2[i]][y2[i]]][num[rep[x2[i]][y2[i]]]++]=rep[x2[i]][y1[i]];
}
for(i=pend-point;i--;)
for(j=num[i];j--;)
if(point[cct[i][j]].x==point[i].x)point[i].up=max(point[i].up,point[cct[i][j]].up+point[cct[i][j]].y-point[i].y);
else point[i].right=max(point[i].right,point[cct[i][j]].right+point[cct[i][j]].x-point[i].x);
for(i=0;i<pend-point;++i)
for(j=num[i];j--;)
if(point[cct[i][j]].x==point[i].x)point[i].down=max(point[i].down,point[cct[i][j]].down-point[cct[i][j]].y+point[i].y);
else point[i].left=max(point[i].left,point[cct[i][j]].left-point[cct[i][j]].x+point[i].x);
/*for(i=0;i<pend-point;++i){
printf("%d(%d,%d):%d,%d,%d,%d->",i,point[i].x,point[i].y,point[i].up,point[i].right,point[i].down,point[i].left);
for(j=num[i];j--;)printf("%d,%d ",point[cct[i][j]].x,point[cct[i][j]].y);
puts("");
}*/
sort(point,pend,chacmp);
for(i=0;i<pend-point;i=j){
top=1;
stack[0]=point[i];
//cout<<"--------\n";
for(j=i+1;equal(point[i],point[j]);++j){
//cout<<"-----"<<j<<"("<<point[j].x<<","<<point[j].y<<")\n";
while(top&&data(stack[top-1])+stack[top-1].x<point[j].x)--top;
//cout<<"Judge with "<<stack[top-1].x<<","<<stack[top-1].y<<":"<<data(stack[top-1])<<"\n";
if(min(data(stack[top-1]),min(point[j].down,point[j].left))>=point[j].x-stack[top-1].x&&s[point[j].x][point[j].y]-s[stack[top-1].x][point[j].y]-s[point[j].x][stack[top-1].y]+s[stack[top-1].x][stack[top-1].y]==(point[j].x-stack[top-1].x)*(point[j].y-stack[top-1].y)){
int ans=0;
for(k=N;k--;)
if(x1[k]<point[j].x&&y1[k]<point[j].y&&x2[k]>stack[top-1].x&&y2[k]>stack[top-1].y)
++ans;
printf("YES %d\n",ans);
bool flag=1;
for(k=N;k--;)
if(x1[k]<point[j].x&&y1[k]<point[j].y&&x2[k]>stack[top-1].x&&y2[k]>stack[top-1].y){
if(flag)flag=0;
else putchar(' ');
printf("%d",N-k);
}
puts("");
return 0;
}
while(top&&data(stack[top-1])+stack[top-1].x<=point[j].x+data(point[j]))--top;
stack[top++]=point[j];
//puts("");
}
}
puts("NO");
}最近做了很多这种枚举两个量的题，经常都是在寻找单调性！当然也有更加奇怪的比如APIO的枚举分界点的。
以后写长长的表达式的时候一定要检查一下！
还有一定要构造一些大数据卡卡自己。
还有，用结构体或pair的话，千万要慎用STL，尤其是结构体!太慢了。。
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