排列组合学习笔记之应用在OI

以下内容主要是对：
http://www.cnblogs.com/kliner/archive/2012/10/12/CS_PC.html
所做学习笔记。

一、插板法：
引：在n个不同元素中有重复取k个的组合数？
析：原命题<=>x1+x2+x3……xn=k的自然数解数
          <=>x1+x2+x3……xn=n+k的非负整数解数
          <=>n+k个球放入n个不同盒子中，每份不能为空，分法？
    插空法？===>插板法！
    n+k个相同元素排列数为1，其中形成n+k-1个空，分成n份，即等价于在n+k-1个空中插入n-1个隔板：
          =C(n+k-1,n-1)=C(n+k-1,k)
二、变式->第二类斯特林数。
问：n个不同的球，分成m份？
析：考虑DP。
    拿出最后一个球，分类：
        ①让前n-1个放入前m-1份中，让第n个单独放在第m个中；
        ②对于前n-1个放入m份中的每一种放法，第n个都有m种放法。
    f[n][m]=f[n-1][m-1]+f[n-1][m]*m;
重复？
    球不同，不允许为空->不会重复。
三、变式->允许为空？
析：直接递推可能无法避免重复的情况。
    转化？
    设g[n][m]=f[n][1]+f[n][2]+f[n][3]……f[n][m]
四、相同球放到m个盒子，不允许为空？
    数的划分？！
分类？
    n个球放入m个盒子的方法来自——
    ①n-1个球放入m-1个盒子，然后再把一个球放到一个盒子里；
    ②将n-m个球放入m个盒子，然后再每个盒子放一个球。
条件：互为补集，没有遗漏！
五、练：（POJ2229）相同球放到若干个盒子中，每个盒子的球的个数必为2的x次幂。
    范围：n∈N∩[1,10^6]
析：二进制分解->完全背包？O(nlogn)

    O(n)做法？
    奇怪的数的划分？
        f[2*n-1]=f[2*n]！奇数的分法必等于偶数，即对于偶数的每种分法加一个盒子放一个新球。
    那偶数呢？
分类？
    n个球放入若干个盒子的方法来自——
    ①将n-1=n-2个球放入若干个盒子，然后再把1个球放到一个盒子里。
    ②将n/2个球放入若干个盒子，然后再把每个盒子的球数*2。
条件：不重不漏，互为补集。

总结：DP思路？
      将当前量分类，在已知中寻找与当前量值的关系，保证不重不漏。