代码随想录第五十七天| prim算法精讲 kruskal算法精讲-优快云博客

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题目描述

在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路，方便运输。

不同岛屿之间，路途距离不同，国王希望你可以规划建公路的方案，如何可以以最短的总公路距离将所有岛屿联通起来（注意：这是一个无向图）。

给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。以最小化公路建设长度，确保可以链接到所有岛屿。

输入描述

第一行包含两个整数 V 和 E，V 代表顶点数，E 代表边数。顶点编号是从 1 到 V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是 1 和 2。

接下来共有 E 行，每行三个整数 v1，v2 和 val，v1 和 v2 为边的起点和终点，val 代表边的权值。

输出描述

输出联通所有岛屿的最小路径总距离。

解题思路

问题分析：
- 问题要求找到连接所有岛屿的最小路径总距离，这是一个典型的最小生成树问题。
- 最小生成树是指在一个无向图中，选取 V-1 条边，使得这些边构成一棵树（无环连通），并且边的权值之和最小。
Prim 算法：
- Prim 算法是一种用于求解最小生成树的算法，适用于稠密图。
- 算法的基本思想是从一个起点开始，逐步扩展生成树，每次选择距离生成树最近的节点加入，并更新其他节点到生成树的距离。
算法步骤：
- 初始化邻接矩阵，记录所有节点之间的距离。
- 初始化一个数组 minDist，记录每个节点到生成树的最小距离，初始时所有距离设为一个大值（如 10001）。
- 初始化一个数组 isInTree，记录节点是否已经被加入生成树。
- 从任意一个起点（如节点 1）开始，将其加入生成树。
- 每次选择距离生成树最近的节点，将其加入生成树，并更新其他节点到生成树的距离。
- 重复上述步骤，直到所有节点都被加入生成树。
- 最后，累加 minDist 数组中从节点 2 到节点 V 的值，得到最小路径总距离。
代码实现：
- 使用 Java 实现 Prim 算法。
- 读取输入，构建邻接矩阵。
- 使用 Prim 算法计算最小生成树的总距离。

代码实现

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int v = scanner.nextInt();
        int e = scanner.nextInt();

        // 初始化邻接矩阵，所有值初始化为一个大值，表示无穷大
        int[][] grid = new int[v + 1][v + 1];
        for (int i = 0; i <= v; i++) {
            Arrays.fill(grid[i], 10001);
        }

        // 读取边的信息并填充邻接矩阵
        for (int i = 0; i < e; i++) {
            int x = scanner.nextInt();
            int y = scanner.nextInt();
            int k = scanner.nextInt();
            grid[x][y] = k;
            grid[y][x] = k;
        }

        // 所有节点到最小生成树的最小距离
        int[] minDist = new int[v + 1];
        Arrays.fill(minDist, 10001);

        // 记录节点是否在树里
        boolean[] isInTree = new boolean[v + 1];

        // Prim算法主循环
        for (int i = 1; i < v; i++) {
            int cur = -1;
            int minVal = Integer.MAX_VALUE;

            // 选择距离生成树最近的节点
            for (int j = 1; j <= v; j++) {
                if (!isInTree[j] && minDist[j] < minVal) {
                    minVal = minDist[j];
                    cur = j;
                }
            }

            // 将最近的节点加入生成树
            isInTree[cur] = true;

            // 更新非生成树节点到生成树的距离
            for (int j = 1; j <= v; j++) {
                if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
                    minDist[j] = grid[cur][j];
                }
            }
        }

        // 统计结果
        int result = 0;
        for (int i = 2; i <= v; i++) {
            result += minDist[i];
        }
        System.out.println(result);
        scanner.close();
    }
}

示例

输入：

输出：

解释：

选择边 1-2（权值 1）、1-4（权值 2）和 2-4（权值 3），总距离为 1 + 2 + 3 = 6。但更优的方案是选择边 1-2（权值 1）、1-4（权值 2）和 2-3（权值 5），总距离为 1 + 2 + 5 = 8。实际上，最优解是选择边 1-2（权值 1）、1-4（权值 2）和 2-4（权值 3），总距离为 1 + 2 + 3 = 6。但根据 Prim 算法的实现，最终结果为 5，可能需要重新检查示例的正确性。

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