代码随想录第三十二天| 509. 斐波那契数 70. 爬楼梯 746. 使用最小花费爬楼梯

509. 斐波那契数

题目描述

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。
该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

• F(0) = 0
• F(1) = 1
• F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

输入： 一个整数 n
输出： 计算 F(n)

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解题思路

1. 动态规划

   • 定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示第 i 项斐波那契数。
   • 初始化 dp[0] = 0 和 dp[1] = 1。
   • 根据递推公式：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，从小到大依次计算每一项。

2. 优化空间

   • 由于计算 dp[i] 时只需要 dp[i-1] 和 dp[i-2]，可以用两个变量代替数组，进一步优化空间复杂度。

3. 时间复杂度和空间复杂度

   • 时间复杂度：O(n)，因为计算每一项需要常数时间。
   • 空间复杂度：
     • 使用数组时为 O(n)。
     • 优化为常量空间时为 O(1)。

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Java代码

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<=1) return n;
		int[] dp = new int[n+1];
		dp[0] = 0;
		dp[1] = 1;
		for(int index = 2;index<=n;index++){
			dp[index] = dp[index-1] + dp[index-2];
		}
		return dp[n];
    }
}

70. 爬楼梯

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。问：有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

注意：
给定 n 是一个正整数。

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解题思路

1. 动态规划

   • 定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 阶的方法数。
   • 初始化：
     • dp[1] = 1（只爬 1 阶的方法）。
     • dp[2] = 2（爬 2 阶的方法为 [1+1] 或 [2]）。
   • 状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
     • 到达第 i 阶的方法数等于从 i-1 阶爬 1 阶的方法数加上从 i-2 阶爬 2 阶的方法数。

2. 优化空间

   • 由于计算 dp[i] 时只需要 dp[i-1] 和 dp[i-2]，可以用两个变量代替数组，进一步优化空间复杂度。

3. 时间复杂度和空间复杂度

   • 时间复杂度：O(n)，因为需要遍历一次。
   • 空间复杂度：
     • 使用数组时为 O(n)。
     • 优化为常量空间时为 O(1)。

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Java代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
		if(n<3) return n;
        int[] dp = new int[n+1];
		dp[1] = 1;
		dp[2] = 2;
		for(int index = 3;index<=n;index++){
			dp[index] = dp[index-1] + dp[index-2];
		}
		return dp[n];
    }
}

746. 使用最小花费爬楼梯

题目描述

数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。

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解题思路

1. 动态规划

   • 定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 阶的最小花费。
   • 状态转移方程：
     • dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])
     • 即从 i-1 阶或 i-2 阶爬到第 i 阶，选择花费最小的路径。
   • 初始状态：
     • dp[0] = 0（从第 0 阶起始，无需花费）
     • dp[1] = 0（从第 1 阶起始，无需花费）

2. 优化空间

   • 由于计算 dp[i] 只需要前两阶的结果，可以用两个变量代替数组，进一步优化空间复杂度。

3. 时间复杂度和空间复杂度

   • 时间复杂度：O(n)，因为需要遍历一次数组。
   • 空间复杂度：
     • 使用数组时为 O(n)。
     • 优化为常量空间时为 O(1)。

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Java代码

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int[] dp = new int[cost.length+1];
		for(int ind = 2;ind < dp.length;ind++){
			dp[ind] = Math.min(dp[ind-1]+cost[ind-1],dp[ind-2]+cost[ind-2]);
		}
		return dp[cost.length];
    }
}