求最长回文子串算法分析-Manacher算法

问题描述：给定一个字符串，找出其中长度最长的回文子串。子串意思是给定字符串的连续子集。回文是指正序和倒序表现形式一样的字符串。

暴力算法是依次以每个点为中心展开并将对应位置的字符进行匹配，找出最长的子串即可。但是时间复杂度很高。这里介绍一种技巧性比较强的Manacher算法，时间复杂度只有O(n)。Manacher算法核心思想就是利用回文子串的对称性，假如某个中心点p包含在一个长的回文子串F中，则以该中心点为中心的回文子串会和以F的中心点为对称轴的另一侧的某个子串有一些共同的特征。利用这个属性就不需要为每个中心点再从1开始展开了。比如对于下面这个例子

                       abcdcgcdcbe

对该字符串依次进行扫描。假设现在已经找到的最长回文子串的中心为g,半径为5. 然后现在扫描到g右边的d位置。一般情况是你需要对每个中心点以半径为0依次展开，但是利用对称性却可以不必如此。比如到d的位置，通过计算发现d在当前最大的回文子串内，说明以g为对称点的左半部分和与以该d为中心点的回文子串有一些相似性。而前面这些点的回文子串都已经算好了。比如这里d的回文子串的一部分从左边可以得到，当然实际的回文子串可能会比这个大。

需要注意的是回文子串分两种，分别为abc，和abba类型。就是一个中心点为字母，一个中心点为空字符。为了在算法中一视同仁，Manacher在字符串中插入了特殊字符，比如将abc通过插入‘#’字符，变成#a#b#c#，这样就保证，每个回文子串都必须是以字符为中心的，因为插入特殊字符后，不可能存在两个相邻的字符相等，也就是不会出现abba这种形式的回文子串了。

下面上源代码

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int len = s.length();
        if(len == 1 || len == 0)return s;
        
        string tmp="#";
        for(int i=0;i<len;++i)
        {
            tmp += s[i];
            tmp += '#';
        }
        
        int id=0,mx=0;
        
        int p[len*2+1];
        
        for(int i=0;i<tmp.length();++i)
        {
            int j = (2*id - i);
            
            if(i<mx)//如果当前中心在当前最长的回文子串中
            {
                p[i] = (mx - i > j)?p[j]:(mx-i);
            }//如果不在
            else p[i] = 1;
            
            while(i+p[i]<tmp.length() && i-p[i]>=0 && tmp[i+p[i]] == tmp[i-p[i]])p[i]++;//在已知信息上拓展
            
            if(p[i] > mx){
                mx = p[i];
                id = i;
            }
        }
        
        string s1="";
        for(int i=id-mx+1;i<id+mx-1;++i)if(tmp[i]!='#')s1+=tmp[i];
        
        return s1;
    }
};