随机算法

1. 要求从N个元素中随机的抽取1个元素。

2. 要求从N个元素中随机的抽取K个元素。

int remain = N
int select = K
for (int i = 0; i < N; ++i){
   if (rand()% remain < select){
      cout<<i<<" ";
      --select;
   }
   --remain;
}

 

第一个元素被选中的概率为 K/N

第二个元素被选中的概率为(K/N)*((K-1)/(N-1)) + ((N-K)/N) * (K/(N-1)) = K/N

.........

证明略（参看The Art of Computer Programming III）

3. 要求从N个元素中随机的抽取1个元素, 其中N无法确定(数据流)。

int Num;
int i = 0;
int choose = 0;
while(scanf("%d", &Num)&& Num != 0){
   if (((double)rand()/(double)RANDOM_MAX) < (1.0 / (double)++i))
      choose = Num;
}
cout << choose <<endl;

总是选择第一行， 二分之一几率选择第二行， 以此类推， K分之一机率选择第K行， 当while 执行完毕，假设N个数字，则每个数字被选择的机率均为1/N

第一行被选择的机率为:

1 * 1/2 * 2/3 * 3/4 *.... (N-1)/N = 1/N

第K行被选择的机率为：

1/K * K/(K+1) * .... (N-1)/N = 1/N

4. 要求从N个元素中随机的抽取K个元素, 其中N无法确定(数据流)。

reservoir sampling

//Init : a reservoir with the size： K
for(int i = K; i < N; ++i){
   int M = rand() % i;
   if( M < K)
      SWAP the Mth value and ith value
}

解决方案就是蓄水库抽样（reservoid sampling）。主要思想就是保持一个集合（这个集合中的每个数字出现），作为蓄水池，依次遍历所有数据的时候以一定概率替换这个蓄水池中的数字。

（1）初始情况。出现在水库中的k个元素的出现概率都是一致的，都是1。这个很显然。

（2）第一步。第一步就是指，处理第k+1个元素的情况。分两种情况：元素全部都没有被替换；其中某个元素被第k+1个元素替换掉。

我们先看情况2：第k+1个元素被选中的概率是k/(k+1)（根据公式k/i），所以这个新元素在水库中出现的概率就一定是k/(k+1)（不管它替换掉哪个元素，反正肯定它是以这个概率出现在水库中）。下面来看水库中剩余的元素出现的概率，也就是1-P(这个元素被替换掉的概率)。水库中任意一个元素被替换掉的概率是：(k/k+1)*(1/k)=1/(k+1)，意即首先要第k+1个元素被选中，然后自己在集合的k个元素中被选中。那它出现的概率就是1-1/(k+1)=k/(k+1)。可以看出来，旧元素和新元素出现的概率是相等的。

情况1：当元素全部都没有替换掉的时候，每个元素的出现概率肯定是一样的，这很显然。但具体是多少呢？就是1-P(第k+1个元素被选中)=1-k/(k+1)=1/(k+1)。

（3）归纳法：重复上面的过程，只要证明第i步到第i+1步，所有元素出现的概率是相等的即可。参见：http://wansishuang.javaeye.com/blog/443902

5. Shuffle (Fisher–Yates shuffle)

void shuffle(int cards[], int n){
    while (n > 1){
        // Swap a random unshuffled card with the top-most card
        int k = rand() % n--;
        swap(cards[n], cards[k]);
    }
}