线性筛实践

线性筛（欧拉筛）

使用范围：得到[2…N]之间所以素数

    说实话埃氏筛已经足够优秀，能基本做到o(n)，但欧式筛才是真正的线性筛且能在筛出质数的同时运算欧拉函数和莫比乌斯函数这两个积性函数的运算，实用于处理数论问题。

欧拉筛拆解分析

（一）初始化

int n,pn=0;//
int num[maxl], prim[maxl],phi[maxl],mob[maxl];

其中

1. num[x]值域为[-1,0]，表示数x是否为素数(-1)
2. prim[x]记录筛出的第x+1项素数
3. phi[x],mob[x]分别记录欧拉函数和莫比乌斯函数的值

（二）第一重循环

for (int i = 2; i < n; ++i) 

    i有双重含义，既表示当前指向的应该拿去判断是否为素数的数有点拗口，又表示筛数的乘子（后文会解释）

（三）判别素数

if (num[i]) {
	prim[pn++] = i;
	phi[i] = i - 1;
	mob[i] = -1;
}

    只要num[i]是-1就代表没被筛除是素数，这里同时写了欧拉函数和莫比乌斯函数的值。

（四）第二重循环

for (int j = 0; j < pn && i * prim[j] < n; ++j) 

    将之前筛出的素数的i倍筛除美滋滋

（五）具体筛除操作，很关键

if (i % prim[j] == 0) {
	num[i * prim[j]] = 0;
	//mob[i * prim[j]] = 0;//莫比乌斯函数
	//phi[i * prim[j]] = phi[i] * prim[j];//欧拉函数
	break;
	}
num[i * prim[j]] = 0;
//mob[i * prim[j]] = -mob[i];
//phi[i * prim[j]] = phi[i] * (prim[j] - 1);

    为什么要i%prim[j]==0就break呢，因为如果i已经包含了prim[j]这个素因子，那么用筛去i*prim[k] (k>j) 就没必要了，因为可以用i增大后乘以prim[j] 来代替，这步操作真正做到了线性，即每个数只筛一次。

到这里线性筛就讲解完了，下面附上运用线性筛和欧拉函数性质的[SDOI2008]仪仗队题解

#include<iostream>
#include<string.h>
#define maxl 40000
using namespace std;

void Prime(int*num,int*prim,int*phi,int*mob,int n,int&pn) {
	pn = 0;
	memset(num,-1,sizeof(num));
	for (int i = 2; i < n; ++i) {
		if (num[i]) {
			prim[pn++] = i;
			phi[i] = i - 1;
			mob[i] = -1;
		}
		for (int j = 0; j < pn && i * prim[j] < n; ++j) {
			if (i % prim[j] == 0) {
				num[i * prim[j]] = 0;
				mob[i * prim[j]] = 0;
				phi[i * prim[j]] = phi[i] * prim[j];
				break;
			}
			num[i * prim[j]] = 0;
			mob[i * prim[j]] = -mob[i];
			phi[i * prim[j]] = phi[i] * (prim[j] - 1);
		}
	}

}


int main() {
	int n,pn,result = 0;
	int num[maxl], prim[maxl],phi[maxl],mob[maxl];
	cin >> n;
	Prime(num, prim, phi, mob, n, pn);
	for (int i = 2; i < n; ++i)
		result = phi[i] + result;
	cout << (result * 2 + 3);
}