HDU - 1757 A Simple Math Problem 矩阵快速幂

最新推荐文章于 2019-05-14 15:56:22 发布

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定递推问题的方法。对于一个复杂的递推公式，当输入值非常大时，直接递推会超时。通过构造特定矩阵，并利用快速幂算法，可以高效地计算出结果并进行取模操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-1757

题意：就是求一个函数f(x)的值，如果x<10，f（x）=x，如果f(x)>=10，给你a0~a9一共10个数，f(x)=a0*f（x-1）+a1*f（x-2）+...+f（x-10）*a9。输出结果要对m取模。（k<=2e9,m<=1e5）。

分析：看起来像是个递推，但是看数据范围十分的大，直接抵退肯定超时，构造矩阵，利用矩阵快速幂求解才能提高效率。具体矩阵构造（在网上找的，因为自己懒得画图）：

#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<queue>  
using namespace std;  
typedef long long LL;  
const int maxn=10;  
int arr[maxn],f[maxn];  
int k,MOD;  
  
struct Matrix{  
    LL mat[maxn][maxn];  
    Matrix operator*(const Matrix& m) const{//重载乘法运算符  
        Matrix tmp;  
        for(int i=0;i<maxn;i++){  
            for(int j=0;j<maxn;j++){  
                tmp.mat[i][j]=0;  
                for(int k=0;k<maxn;k++){  
                    tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;  
                    tmp.mat[i][j]%=MOD;  
                }  
            }  
        }  
        return tmp;  
    }  
};  
  
void init(Matrix& m){ //初始化  
    memset(m.mat , 0 , sizeof(m.mat));  
    for(int i=0;i<maxn;i++)  
        m.mat[0][i]=arr[i];  
    for(int i=0;i<maxn-1;i++)  
        m.mat[i+1][i]=1;  
    for(int i=0;i<maxn;i++)  
        f[i]=i;  
}  
  
LL Pow(Matrix& m){  
    Matrix ans;  
    memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));  
    for(int i=0;i<maxn;i++)  
        ans.mat[i][i]=1;  
    k-=9;  
    while(k){ //快速幂  
        if(k&1) ans=ans*m;  
        k>>=1;  
        m=m*m;  
    }  
    LL sum=0;  
    for(int i=0;i<maxn;i++){ //计算结果  
        sum+=ans.mat[0][i]*f[maxn-1-i]%MOD;  
        sum%=MOD;  
    }  
    return sum;  
}  
  
int main() {  
    //freopen("in.txt","r",stdin);  
    Matrix m;  
    while(~scanf("%d%d",&k,&MOD)){  
        for(int i=0;i<maxn;i++)  
            scanf("%d",&arr[i]);  
        init(m);  
        if(k<10) printf("%d\n",k%MOD);  
        else printf("%lld\n",Pow(m));  
    }  
    return 0;  
}