【数论定理】卢卡斯定理

最新推荐文章于 2022-08-31 08:48:02 发布

summer_via

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本文介绍了一种利用Lucas定理高效计算大数组合数的方法，并提供了详细的C++实现代码。通过预计算阶乘及其逆元，可以在log级别的时间复杂度内求解任意模数下的组合数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

库卡斯模板：

/* Lucas定理：我们令n=sp+q , m=tp+r .（q ，r ≤p）
 * 那么：C(n,m)=C(s,t)*C(q,r)
 * 使用前要打出0~mod-1的阶乘表fac[]
 * 时间O(logp(n)*p)
 */
 const int mod=1000000007;
typedef long long ll;
ll fac[100018];
ll pow_m(ll a,ll n)
{
    ll res=1;
    while(n)
    {
        if(n%2) res*=a,res%=mod;
        a=a*a;
        a%=mod;
        n/=2;
    }
    return res;
}
ll inv(ll a,ll mod)
{
    return pow_m(a,mod-2);
}
ll C(ll n,ll m)
{
    if(n<m) return 0;
    return (fac[n]*inv(fac[m],mod)%mod)*inv(fac[n-m],mod)%mod;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll mod)
{
    ll res=0;
    if(n+m==0) return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod,mod)%mod;
}