BiLSTM-CRF中CRF层解析-4

2.5 所有路径的总得分

上节中，我们介绍了如何计算一个路径的标签得分$e^{S_i}$，那么，还有一个问题需要解决，即怎么计算所有路径的总得分：$P_{total}=P_1+P_2+\dots +P_N=e^{S_1}+e^{S_2}+\dots +e^{S_N}$

计算总得分最简单的方法就是：枚举所有可能的路径，然后将每条路径的得分加起来，这样虽然能实现目标，但是该方式是非常低效的，训练可能需要很久很久…

在学习下边的内容前，强烈建议你拿出草稿纸和笔，跟着示例步骤，一步一步往下走，用这种方式肯定能帮助你更好地理解算法细节，从而，你可以使用你喜欢的编程语言进行实现。

Step 1:回顾CRF损失函数
在2.3节（上一片博客）中，CRF损失函数定义如下：
$$LossFunction=\frac{P_{RealPath}}{P_1+P_2+...+P_N}$$

为了便于计算，我们将该损失函数改写为log损失函数，如下：
$$LogLossFunction=log\frac{P_{RealPath}}{P_1+P_2+...+P_N}$$

因为在训练模型时，我们通常是最小化损失函数，因此我们在上式乘以-1:
$LogLossFunction$
$=-log\frac{P_{RealPath}}{P_1+P_2+...+P_N}$
$=-log\frac{e^{S_{RealPath}}}{e^{S_1}+e^{S_2}+...+e^{S_N}}$
$=-(log(e^{S_{RealPath}})-log(e^{S_1}+e^{S_2}+...+e^{S_N})$
$=-(S_{RealPath}-log(e^{S_1}+e^{S_2}+...+e^{S_N})$
$=-({\sum }_{i=1}^N{x}_{i{y}_i}+{\sum }_{i=1}^{N-1}{t}_{y_i{y}_{i+1}}-log(e^{S_1}+e^{S_2}+...+e^{S_N})$

在之前的章节中，我们已经知道了如何计算真实路径得分，现在我们需要找到一种有效的方法来计算$log(e^{S_1}+e^{S_2}+...+e^{S_N})$。

Step2:回顾发射和转移得分
假设我们正在基于一个长度为3的句子训练模型：
$\mathbf{x}=[w_0,w_1,w_2]$
训练数据中，只有两个标签：
LabelSet={l1,l2}LabelSet = \{l_1,l_2\}LabelSet={l1​,l2​}
我们从BiLSTM层获取的发射得分结果如下表所示：

	${\mathbf{l}}_1$	${\mathbf{l}}_2$
${\mathbf{w}}_0$	$x_{01}$	$x_{02}$
${\mathbf{w}}_1$	$x_{11}$	$x_{12}$
${\mathbf{w}}_2$	$x_{21}$	$x_{22}$

$x_{ij}$是$w_i$被标记为$l_j$的得分。
CRF层的转移得分如下表所示：

	${\mathbf{l}}_1$	${\mathbf{l}}_2$
${\mathbf{l}}_1$	$t_{11}$	$t_{12}$
${\mathbf{l}}_2$	$t_{21}$	$t_{22}$

$t_{ij}$是标签从$i$到$j$的转移得分。

Step3:计算（备好纸和笔 again）
提示: 我们的目标是计算 $\log (e^{S_1}+e^{S_2}+\dots +e^{S_N})$

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上式的计算是一个累加过程，其思想和动态编程相似（即使你不了解动态编程，你也可以继续，我会一步一步解释示例的，但是还是强烈推荐您去学习一下动态编程算法），$w_0$所有路径的总得分计算后，要计算$w_0\to w_1$的总得分，然后我们利用上述总得分计算 $w_0\to w_1\to w_2$的得分，该得分就是我们所需要的最终得分。
在下述步骤中，你将会看到两个变量：obs和previous，previous是先前步骤的最终结果，obs是当前单词的信息。

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$w_0$:

$obs=[x_{01},x_{02}]$
$previous=None$

如果该语句中仅有一个单词$w_0$，我们没有之前的词的结果，所以 previous 为 None。此外，我们也只能获取到第一个单词，其信息 $obs=[x_{01},x_{02}]$，其中$x_{01}$ 和 $x_{02}$即上述所说的发射得分。
那么 $w_0$所有可能路径的总得分即为：
$TotalScore(w_0)=\log (e^{x_{01}}+e^{x_{02}})$

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$w_0$ → $w_1$:

$obs=[x_{11},x_{12}]$
$previous=[x_{01},x_{02}]$

1）将 previous扩展为：
$$previous=(\begin{array}{cc}{x}_{01}& x_{01}\\ x_{02}& x_{02}\end{array})$$
2）将 obs 扩展为：
$$obs=(\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{11}& x_{12}\end{array})$$

我们之所以这样做的原始是：矩阵可以使得所有得分计算的效率更高。

3）将 previous obs和转移得分进行相加：

$$scores=(\begin{array}{cc}{x}_{01}& x_{01}\\ x_{02}& x_{02}\end{array})+(\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{11}& x_{12}\end{array})+(\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\end{array})$$
得到
$$scores=(\begin{array}{cc}{x}_{01}+x_{11}+t_{11}& x_{01}+x_{12}+t_{12}\\ x_{02}+x_{11}+t_{21}& x_{02}+x_{12}+t_{22}\end{array})$$

更新 previous：
$$previous=[log(e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}}),log(e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})]$$

这样，第二轮迭代就完成了，从 $w_0\to w_1$的所有路径： ($labe{l}_1$ → $labe{l}_1$, $labe{l}_1$ → $labe{l}_2$, $labe{l}_2$ → $labe{l}_1$, $labe{l}_2$ → $labe{l}_2$)，其总得分可以用下式计算：
$TotalScore(w_0\to w_1)$
$=\log (e^{previous[0]}+e^{previous[1]})$
$=\log (e^{\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})}+e^{\log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})})$
$=\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}}+e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})$

这就是我们的目标$\log (e^{S_1}+e^{S_2}+\dots +e^{S_N})$。
从上式中我们可以发现

• $S_1=x_{01}+x_{11}+t_{11}$ ($labe{l}_1$ → $labe{l}_1$)
• $S_2=x_{02}+x_{11}+t_{21}$ ($labe{l}_2$ → $labe{l}_1$)
• $S_3=x_{01}+x_{12}+t_{12}$ ($labe{l}_1$ → $labe{l}_2$)
• $S_4=x_{02}+x_{12}+t_{22}$ ($labe{l}_2$ → $labe{l}_2$)

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$w_0$ → $w_1$ → $w_2$:
当你读到这里的时候，其实你已经学会了，在这次迭代中，我们知道按照上述的方式进行相同操作即可
$$obs=[x_{21},x_{22}]$$
$$previous=[\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}}),\log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})]$$

1）将previous扩展为：
$$previous=\left(\begin{array}{cc}\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})& \log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})\\ \log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})& \log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})\end{array}\right)$$
2）将obs扩展为：
$$obs=\left(\begin{array}{cc}{x}_{21}& x_{22}\\ x_{21}& x_{22}\end{array}\right)$$
3）将 previous,obs和转移得分加起来：

$$scores=\left(\begin{array}{cc}\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})& \log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})\\ \log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})& \log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{x}_{21}& x_{22}\\ x_{21}& x_{22}\end{array}\right)+(\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\end{array})$$
然后：
$$scores=\left(\begin{array}{cc}\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})+x_{21}+t_{11}& \log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})+x_{22}+t_{12}\\ \log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})+x_{21}+t_{21}& \log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})+x_{22}+t_{22}\end{array}\right)$$
更新previous:
$previous=[$
$\begin{array}{c}\log e^{\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})+x_{21}+t_{11}}+e^{\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})+x_{22}+t_{12}}),\\ \log (e^{\log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})+x_{21}+t_{21}}+e^{\log (e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})+x_{22}+t_{22}})\end{array}$
$]$
$=[\log ((e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})e^{x_{21}+t_{11}}+(e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})e^{x_{21}+t_{21}}),$
$\log ((e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})e^{x_{22}+t_{12}}+(e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})e^{x_{22}+t_{22}})]$
如上所述，我们使用新更新的previous来计算总得分：
$TotalScore(w_0\to w_1\to w_2)$
$=\log (e^{previous[0]}+e^{previous[1]})$
$=\log (e^{\log ((e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})e^{x_{21}+t_{11}}+(e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})e^{x_{21}+t_{21}})}$
$+e^{\log ((e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}})e^{x_{22}+t_{12}}+(e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}})e^{x_{22}+t_{22}})})$

$=\log (e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}+x_{21}+t_{11}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}+x_{21}+t_{11}}$
$+e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}+x_{21}+t_{21}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}+x_{21}+t_{21}}$
$+e^{x_{01}+x_{11}+t_{11}+x_{22}+t_{12}}+e^{x_{02}+x_{11}+t_{21}+x_{22}+t_{12}}$
$+e^{x_{01}+x_{12}+t_{12}+x_{22}+t_{22}}+e^{x_{02}+x_{12}+t_{22}+x_{22}+t_{22}})$

撒花
我们已经得到了目标：$\log (e^{S_1}+e^{S_2}+\dots +e^{S_N})$，因为该示例中，这一句话中有3个词，有两个标签，因此，总共有8个可能的路径。

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虽然该过程看起来比较复杂，但是用编程语言实现该算法是很简单的，因为计算机比较擅长处理重复性工作。

下一篇博文

下篇博客将介绍如何预测一句话的标签。