零空间（Null space）的理解

零空间（Null space）的定义：

已知是一个 m*n 的矩阵，则的零空间是指满足下列条件的维矢量 v 的集合：. 式中表示复数。

零空间(Null space)：像为零的原像空间，即{x| Ax=0}。若矩阵为A，则用Null(A)表示A的零空间。

个人理解：

• 一个矩阵A的零空间是指，能够被矩阵A映射到零点的所有向量所在的空间。
• 零空间不独立存在，其依赖于某个特定的算子/矩阵A而存在。是定义在某个特定的算子/矩阵上的。通常说的是“某个算子A的零空间”。

零空间的维度

用dim[Null(A)]表示A的零空间的维度。

由以上定义可知，零空间并不是维度为0.

矩阵的秩：矩阵的列空间是一个向量空间,显然每个向量的维度是。列空间的维数定义为矩阵的秩，标记为 ，即。

零空间的维度，等于矩阵A所在的全空间的维度减去A的列空间的维度，即，A所在的全空间的维度减去矩阵A的秩： 

个人理解

描述：

• 矩阵的所有行向量可以张成行向量子空间，所有列向量可以张成列向量子空间。
• 行向量子空间和列向量子空间的维数相等，都等于矩阵的秩。
• 行向量子空间的维度 = m - （A的零空间的维度）= m - dim[Null(A)]
• 列向量子空间的维度 = n - （A的零空间的维度）=n - dim[Null(A)]
• 一个矩阵的： （子空间的维度） + （零空间的维度） = 全空间的维度

以下为自己的理解：

• 如果零空间维度为0，意味着矩阵的原像空间中只有一个样本可以被映射到矩阵像空间中的零点。
• 如果零空间维度为1：意味着矩阵的原像空间中有一条直线上的点经过矩阵算子后会被映射到像空间中的零点。
• 如果零空间维度为2：意味着矩阵的原像空间中有一个平面上的点经过矩阵算子后会被映射到像空间中的零点。
• 如果零空间维度为k：意味着矩阵的原像空间中有一个k维子空间，该k维子空间中的点经过矩阵算子后会被映射到像空间中的零点。

参考：《矩阵分析与应用（第2版）》张贤达 著。 第52页。