《A Distributional Perspective on Reinforcement Learning》的理解

近日看一本关于Reinforcement Learning的入门书《Deep Reinforcement Learning Hands On》，甚有收获。该书由PacktPublishing在2018年出版，它不仅介绍了RL的基础理论，而且带着读者一步一步由浅入深，用Pytorch实现一个个案例，全部做一次后，感觉不论是对RL的理解，还是Pytorch的应用都上了一个台阶。
《A Distributional Perspective on Reinforcement Learning》是《Hands On》的第七章引用的例子，在看书时，觉得理解得还不够深入，于是找来原文读了几天，以下是我对它的一些理解。
《A Distributional Perspective》的理解可以分为两个层次：
1、实现原理的理解。
2、数学推导的理解。
数学推导的理解较复杂，论文在附录中用了大量篇幅来论证，而实现的理解则较为简单，本文就从简单的这部分入手。
本文提纲如下：
一、Q-Learning下的Bellman方程
二、分布式Bellman方程
三、Pytorch代码实现分析

---

一、Q-Learning下的Bellman方程

Bellman方程是描述 agent 在环境状态（enviroment state） $x$ 下，采取行为（action）$a$，所获得的未来总收益（rewards）的折现，它可以表达成为：
$$Q(x,a)=\mathbb{E}R(x,a)+\gamma \mathbb{E}Q(X^{\prime },A^{\prime })(1)$$
$Q(x,a)$ 表示状态 $x$ 下，行动 $a$ 的未来总收益折现——Q值，$R(x,a)$ 是在当前回报，$\gamma$ 是折现率（discount rate），$Q(X^{\prime },A^{\prime })$ 是下一状态（$X^{\prime }$）某一行动（$A^{\prime }$）的Q值。因为 $R(x,a)$ 和 $Q(X^{\prime },A^{\prime })$ 都是随机量，因而(1)式对它们求期望（$\mathbb{E}$）。(1)式最重要的地方是，它给出了一个通过迭代过程，可以求出Q值的方法。
我们将视野放大一些，不论监督学习，还是增强学习，它们最终都是要得到一个收敛的结果，监督学习是以一个target函数为目标，进行收敛，即：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=$$