选课（动态规划与DFS在多叉树中的应用）

选课

(来源：Luogu P2014）
题目描述

在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？

输入输出格式

输入格式：
第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1<=N<=300,1<=M<=300)

接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si, ki表示第I门课的直接先修课，si表示第I门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1<=ki<=N, 1<=si<=20）。

输出格式：
只有一行，选M门课程的最大得分。

输入输出样例

输入样例#1：
7 4
2 2
0 1
0 4
2 1
7 1
7 6
2 2
输出样例#1：
13

吐槽

以下几行文字与本题无关，仅仅是想吐槽，大家可以跳过。
现在一些OI界和OI群的风气真的不是很好，大家都会因为初学者提出的一些简单问题而去嘲笑人家，大家都是从初学者过来的，有必要互相嘲笑来体现自己多聪明吗？人家蒟蒻本是受害者，却反倒被指责是怼大牛大佬，这真是愚蠢至极。It cannot be more stupid and silly!

思路

吐槽结束，现在切入正题。通过这个题，我们总结一下思想方法：
1.超级根节点（据说是借鉴了网络流的思想），把所有的祖先节点（即没有出度的节点）都指向一个0节点（超级根节点），这个超级根节点具有权值为0的属性，由于它的出现，需要让m值+1。
2.以及关于树在DFS中的应用，由于是树的结构，这就要求DFS在树结构中的搜索方向是从叶子节点向上搜索。
3.创新的DP思路：f[i][j]表示在第i个节点的子节点选取j个所能够得到的最大值。这就意味着，f[i][0]=a[i]，所求的值是f[0][m]。
4.用邻接表存图，可以用数组来存，也可以用链表来存，这里我用了数组（毕竟学的时间长一些嘛）。
5.递归思想，传说中OI要迈过的第一个坎。由于要从下往上来深搜，所以我们先去深度优先搜索，用一个sum表示某节点下的子孙节点总数。
6.然后这时状态转移方程出场！
if(j-k>=1)//保证x节点是在已选定的树中的。
f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k-1]+f[i][k]);//这是一个递归过程，因此要从叶子节点到根节点搜索。这里的i就是x的子节点。
这一点既是本题的重点，也是本题的难点（好像这是从数学老师那里学来的话）。

代码

Dev-C++5.9.2

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int i,j,k,m,n;
int a[301],f[301][301];
int nxt[301],hd[301];

int r()
{
    char ch=getchar();
    int ans=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        ans*=10;
        ans+=ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return ans;
}

void add(int son,int fa)
{
    nxt[son]=hd[fa];
    hd[fa]=son;
}

int dfs(int x)
{
    if(!hd[x]) return 0;
    int sum=0;
    for(int i=hd[x];i!=-1;i=nxt[i])
    {
        int t=dfs(i);
        sum+=t+1;

        for(j=sum;j>=0;j--)
        for(k=0;k<=t;k++)
        if(j-k>=1&&(f[x][j]<f[x][j-k-1]+f[i][k]))
        f[x][j]=(f[x][j-k-1]+f[i][k]);
    }
    return sum;
}

int main()
{
    n=r(),m=r();
    int xx;
    memset(hd,-1,sizeof(hd));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        xx=r(),a[i]=r();
        add(i,xx);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=a[i];
    }
    dfs(0);
    cout<<f[0][m];
    return 0;
}