递归的概念
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。
当边界条件不满足时，递归前进；
当边界条件满足时，递归返回。
汉诺塔问题
void move(char from ,char to) {
cout<<“Move “<<from<<“to”<<to<<endl;
}
void hanoi(int n, char first, char second, char third) {
if(n==1)
move(first,third);
else{
hanoi(n-1,first,third,second);
move(first,third);
hanoi(n-1,second,first,third);
}
}
int main(){
int m;
cout<<“the number of diskes:";
cin>>m;
cout<<"move “<<m<<“ diskes:\n";
hanoi(m,'A','B','C');
}
猴子吃桃
猴子第一天采摘了一些桃子，第二天吃了第一天的一半多一个，第三天吃了第二天的一半多一个…直到第十天就剩下一个。问：猴子第一天摘了多少桃子？
递推关系:
f(n)=f(n-1)/2-1
f(n-1)=(f(n)+1)/*2
f(10)=1
#include <iostream>
using namespace std;
int func(int day){
if(day==10)
return 1; //终止条件很重要
else
return (func(day+1)+1)*2; //找到依赖关系很重要
}
int main(){
cout<<"第一天有%d个桃子！"<<func(1)<<endl;
return 0;
}
逆序输出一个正数中的每一位数
例如，对于数12345，依次输出5 4 3 2 1
分析：
如果n/10==0,则
输出n;
否则
输出n%10,
然后，对n/10进行相同处理
void Reverse( int n){
if(n/10==0)
cout<<n;
else{
cout<<n%10;
Reverse(n/10);
}
}
main(){
Reverse(12345);
}
依次输出一个数中的每一位数
例如，对于数12345，依次输出1 2 3 4 5
分析：
如果n/10==0,则
输出n;
否则
先对n/10进行相同处理
之后，cout<<n%10;
void Reverse( int n){
if(n/10==0)
cout<<n;
else{
Reverse(n/10);
cout<<n%10;
}
}
main(){
Reverse(12345);
}
集合全排列问题
void Perm(int list[], int k, int m){
if(k==m){
for(int i=0;i<=m;i++)
cout<<list[i]<<" ";
cout<<endl;
}
else
for(int j=k;j<=m;j++) {
swap(list[k],list[j]);
Perm(list,k+1,m);
swap(list[k],list[j]);
}
}
整数划分
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
#include<iostream>
using namespace std;
int zshf(int n,int m){
if(n<1)
return 0;
else if(n==1||m==1)
return 1;
else if(n<m) return zshf(n,n);
else if(n==m) return zshf(n,m-1)+1;
return zshf(n,m-1)+zshf(n-m,m);
}
int main(){
int n;
n=zshf(6,3); cout<<n<<endl; return 0;
}
给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素。
模仿快速排序算法
#include <iostream>
using namespace std;
int a[]={38,27,55,50,13,49,65};
int select (int left, int right, int k){
if(left>=right) return a[left];
int i=left; int j=right+1;
int pivot=a[left];
while(true){
do{ i=i+1;}while(a[i]<pivot);
do{ j=j-1;}while(a[j]>pivot);//38,27,13,50,55,49,65
if(i>=j) break;
swap(a[i],a[j]);
}
if(j-left+1==k) return pivot;
a[left]=a[j];
a[j]=pivot;
if(j-left+1<k) //j-left+1 :左区元素的个数
return select(j+1,right,k-j+left-1); //在右区中找
else
return select(left,j-1,k);
}
int main()
{
cout<<select(0,6,5);
return 0;
}
油管问题
某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经（或南或北）与主管道相连。
如果给定n口油井的位置，即它们的x坐标（东西向）和y坐标（南北向），应如何确定主管道的最优位置，即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置？
给定n口油井的位置，编程计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。
输入
第1行是一个整数n，表示油井的数量（1≤n≤10 000）。
接下来n行是油井的位置，每行两个整数x和y
（﹣10 000≤x，y≤10 000）。
输出
各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。
输入样例
5
1 2
2 2
1 3
3 -2
3 3
输出样例
6
设n口油井的位置分别为 ，i＝1～n。由于主输油管道是东西向的，因此可用其主轴线的y坐标唯一确定其位置。主管道的最优位置y应该满足：
实际可分解为求中位数
最优位置：
#include <iostream>
using namespace std;
int a[1000];
int select (int left, int right, int k){
if(left>=right) return a[left];
int i=left; int j=right+1;
int pivot=a[left];
while(true){
do{ i=i+1;}while(a[i]<pivot);
do{ j=j-1;}while(a[j]>pivot);
if(i>=j) break;
swap(a[i],a[j]);
}
if(j-left+1==k) return pivot;
a[left]=a[j];
a[j]=pivot;
if(j-left+1<k)
return select(j+1,right,k-j+left-1);
else
return select(left,j-1,k);
}
int main()
{
int n;
int x;
cin>>n;
for (int i=0; i<n; i++)
cin>>x>>a[i];
int y = select(0, n-1, n/2); //采用分治算法计算中位数。
int min=0;
for(int i=0;i<n;i++)
min += (int)fabs(a[i]-y);
cout<<min<<endl;
return 0;
}
半数集问题
要求找出具有下列性质的数的个数(包含输入的自然数n)：
先输入一个自然数n(n<=500),然后对此自然数按照如下方法进行处理:
1.不作任何处理;
2.在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数字的一半;
3. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.
如输入6，则有6
1626
12636
136
输入6
可以得到
6, 不做任何处理
16 左边添加一位数1，之后，不能继续添加
26 左边添加一位数2，之后继续进行相同的处理
126
36 左边添加一位数3，之后继续进行相同的处理
136
对于每一个数，依次可以构造出首位是1~a/2的新数字
对每一个新数字，继续按照相同的方法进行处理
递归结束的条件是：每一个数字都进行了处理
#include <iostream>
using namespace std;
int comp(int n) {
int ans=1; //n的半数集合的大小，n属于这个集合，因此初值为1
for(i=1;i<=n/2;i++) { //i为新数的前面的部分数字
ans=ans+ comp(i);
}
return ans;
}
int main() {
int x,num;
cin>>x;
num=comp(x);
cout<<num<<endl; return 0;
}
重复子问题：
重复计算 n 的半数
例如：24
1,2,3,4,5,6,12
1224
1,2,3,4,6
#include <iostream>
using namespace std;
int a[100];
int comp(int n) {
int ans=1;
if(a[n]>0) return a[n];
for(int i=1;i<=n/2;i++) {
ans=ans+ comp(i);
}
a[n]=ans;
return ans;
}
int main() {
int x,num;
memset(a,0,sizeof(a));
cin>>x; num=comp(x); cout<<num<<endl; return 0;
}
采用该方法构造的半数集是一个多重集。
即：集合中可能会存在重复的元素。
如：24 的半数集中： 1224会出现两次
（由224->1224，直接产生1224）.
如何计算不包含重复数据的半数集？
#include<iostream>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
void comp(int n ,set<string> &s,string str2){
char *str1;
string str;
for(int i=1;i<=n/2;i++) {
str=string(itoa(i,str1,10))+str2;
s.insert(str);
comp(i,s,str);
}
}
int main(){
set<string > s;
string str2;
char a[100];
int n;
cin>>n;
str2=string(itoa(n,a,10));
comp(n,s,str2);
cout<<s.size()+1;
return 0;
}
整数因子分解
大于1的正整数n可以分解为：
当n=12时，共有8种不同的分解式：
对于给定的正整数n，编程计算n共有多少种不同的分解式。
当n=12时，整数因子分解方案
算法3.14 整数因子分解的算法
int total; //定义为全局变量
void solve(int n) {
if (n1) total++; //获得一个分解
else for (int i=2; i<=n; i++)
if (n%i0) solve(n/i);
}
/主函数main()中数据的读取与调用
int n;
while( cin>>n)
{
total = 0;
solve(n);
cout<<total;
}
取余运算
输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整形数。
分析：参考以下公式将数据进行分解
如：
P=2 * P/2 + P%2，
如19=2 * 19/2 + 19%2=2*9+1
P 为偶数
b^p % k
=b^( 2 * P/2 )%k
=(b^( 2 * P/2 ))%k=(b^ P/2 * b^ P/2)%k
=(b^( 2 * P/2 ))%k=((b^ P/2)%k * (b^ P/2)%k)%k
temp=(b^ P/2) %k
b^p % k=((temp*temp)%k
P 为奇数
b^p % k
=b^( 2 * P/2 + 1 )%k
=(b^( 2 * P/2 )b)%k
=((b^ P/2 b^ P/2 )b)%k
=(b^( 2 * P/2 ) %kb %k)%k
temp=b^ P/2%k
b^p % k
=((temptemp)%k * b%k)%k
=(temptemp* b)%k
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int b,p,k,a;
int f(int p) {
if (p==0)
return 1;
int tmp;
tmp=f(p/2)%k;
tmp=(tmp*tmp) % k;
if (p%2==1)
tmp=(tmp*tmp * b) %k;
return tmp;
}
int main(){
cin>>b>>p>>k;
int tmpb=b;
b%=k;
printf("%d^%d mod %d=%d\n",tmpb,p,k,f(p));
return 0;
}
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