分解质因数模板

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本文介绍了一种质因数分解的算法实现，并通过优化减少了循环次数。首先从最小的质因子2开始，逐层循环去除自然数中的质因子，直至找到所有质因数。进一步优化算法，将循环层数改为√n，大幅提升了效率。

由算数基本定理，我们得到，一个大于 1 的自然数，一定能分解为若干个质数的乘积。

对于一个自然数的分解，我们从最小的质因子数2开始除，每层循环将一种质因子从自然数中剔除，循环到最后就可以将所有的质因数求解出来的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans[1000];

int main()
{
    int n,cnt;
    cin>>n;
    for(int j = 2; j<=n; j++)
    {
        if(n%j==0)
        {
            cnt = 0;
            while(n%j==0)
            {
                n/=j;
                cnt++;
            }
            cout<<j<<" "<<cnt<<endl;
        }
    }
    if(n!=1)
        cout<<n<<" "<<1<<endl;
    return 0;
}

优化：

循环的层数可以改为sqrt(n)层，n为自然数。因为一个自然数中，大于 √n的质因数最多有一个。

证明：

如果存在两个大于√n的质因数分别为 a,b

如果a<b，那么a*b>n,那么a和b不可能都是n的质因子，只有a=b的时候才才能保证a和b都是自然数的质因子。所以对于一个自然数，它大于√n的质因数最多只有一个。

sqrt函数的返回值是浮点数，所以使用了j*j<=n这种方法来代替j<=sqrt(n)。但是如果j太大了，j*j可能会溢出，所以采用了j<=n/j

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans[1000];

int main()
{
    int n,cnt;
    cin>>n;
    for(int j = 2; j<=n/j; j++)
    {
        if(n%j==0)
        {
            cnt = 0;
            while(n%j==0)
            {
                n/=j;
                cnt++;
            }
            cout<<j<<" "<<cnt<<endl;
        }
    }
    if(n!=1)
        cout<<n<<" "<<1<<endl;
    return 0;
}