经典斯坦纳树

最新推荐文章于 2024-08-19 19:55:55 发布

_Falling_stars_

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分类专栏：斯坦纳树文章标签：算法图论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/StevenWang2019/article/details/118582768

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该博客探讨了一种解决正权联通图中连接K个点的最小权值连通块的问题。通过引入斯坦纳树的概念，作者详细解释了状态转移方程，并展示了如何使用SPFA或Dijkstra算法进行优化。文章提供了完整的C++代码实现，以寻找给定图中K个点的最小权值和连通块。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题
给出一张正权联通图和K个点，求连接这K个点的连通块最小权值和
题解
首先可以确定答案连通块是一棵树，因为如果有环则删去环上任意一条边就更优
引入斯坦纳树
设f[i][s]为以i为根的树达到这K个点为s的状态所需的最小权值和
有（t|s=s）时，f[i][s]=min(f[i][s],f[i][t]+f[i][s-t])
有i与j有边时，f[i][s]=min(f[i][s],f[j][s]+w[i][j])，w为边权
第一种转移枚举即可
第二种使用SPFA或Dij均可
最后答案即为f[K个点中任意一个][(1<<k)-1]

//#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
#define H 5001
#define ll long long
const int M=510;
const int inf=0x3f3f3f3f;
using namespace std;
int n,m,k,a[M],tot,f[M][H],que[M];
bool tg[M];
typedef pair<int, int> P;
struct edge{
	int nxt,st,to,w;
}t[M*2];
void add(int u,int v,ll w){
	t[++tot].nxt=t[u].st,t[tot].to=v,t[tot].w=w,t[u].st=tot;
}
priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > q;
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i)
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w),add(v,u,w);
	memset(f,inf,sizeof f);
	for(int i=1;i<=k;++i){
		scanf("%d",a+i),f[a[i]][1<<(i-1)]=0;
	}
	for(int s=1;s<(1<<k);++s){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int t=1;t<=s;++t)
				if((t|s)==s)
					f[i][s]=min(f[i][s],f[i][t]+f[i][s-t]);
			if(f[i][s]!=inf)q.push(P(f[i][s],i));
		}
		memset(tg,0,sizeof tg);
		while(!q.empty()){
			P x=q.top();
			q.pop();
			int v=x.second;
			if(tg[v])continue;
			tg[v]=1;
			for(int i=t[v].st;i;i=t[i].nxt){
				if(f[t[i].to][s]>f[v][s]+t[i].w){
					f[t[i].to][s]=f[v][s]+t[i].w,q.push(P(f[t[i].to][s],t[i].to));
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n",f[a[1]][(1<<k)-1]);
}