【DP】Uva 10163

本文针对UVa10163 Storage Keepers问题进行了解析,提出使用动态规划方法解决仓库管理员分配问题,以实现仓库安全系数最大化及管理员能力值总和最小化。

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                                                  UVa 10163 Storage Keepers

题意:

有n个仓库(最多100个),m个管理员(最多30个),每个管理员有一个能力值P(接下来的一行有m个数,表示每个管理员的能力值)

每个仓库只能由一个管理员看管,但是每个管理员可以看管k个仓库(但是这个仓库分配到的安全值只有p/k,k=0,1,…),

你的任务是招聘一些守卫,使得所有仓库的最小安全系数最大。在此前提下守卫的能力值总和(这个值等于你所支付工资的总和)最小。

输出最大安全值,并且输出最少的花费。

思路:
最先看见问题的时候思路有点混乱。再看看问题,首先要满足每个仓库安全值最高的前提:那么显然,我们需要先求出仓库安全值最高是多少。再求出最小的花费。
如果我们直接假设每个守卫都被雇佣。从而算出最小值的最大值的话,之后想了半天不知道怎么做。所以我先想了想最小花费的dp方程。
dp[i][j] 表示前i个仓库 用 j个管理员看守且满足安全值的最小费用。
dp[i][j]=min(dp[i-k][j-1]+p[j]) (&&dp[i-k][j-1]+p[j]是前i个仓库用j个管理员可以产生的最大安全值。)
预处理f[i]j[j] 表示前i个仓库用j个管理员看守的最大安全值。
f[i][j]=max(f[i-k][j],p[k]/k)
其实就是两个dp,当我们发现得到答案需要某些状态的时候,可以先用过另外的dp预处理出来。

### 问题分析 UVA12099 **The Bookcase** 是一个典型的动态规划问题,涉及将多个书籍放入书架,要求最小化书架的总高度。问题的核心是: - 给定一组书籍,每个书籍具有固定的宽度和高度。 - 书架的宽度有限,书籍必须按照顺序放置,且每层书架的总宽度不能超过限制。 - 每层书架的高度是该层中所有书籍的最大高度。 - 任务是安排书籍的分布,使得书架的总高度最小化。 ### 动态规划思路 该问题可以通过动态规划求解。定义状态 `dp[i]` 表示前 `i` 本书的最小总高度。 为了优化状态转移,可以使用如下策略: - 预处理计算每本书到另一本书之间的最大高度。 - 状态转移方程为: `dp[i] = min(dp[j] + max_height(j+1..i))`,其中 `j < i` 且 `sum_width(j+1..i) <= shelf_width`。 ### C++ 实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <climits> using namespace std; int minTotalHeight(const vector<int>& heights, const vector<int>& widths, int shelfWidth) { int n = heights.size(); vector<int> dp(n + 1, 0); // dp[i] 表示前i本书的最小总高度 dp[0] = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { int max_height = 0; int total_width = 0; dp[i] = INT_MAX; for (int j = i - 1; j >= 0; --j) { total_width += widths[j]; if (total_width > shelfWidth) break; max_height = max(max_height, heights[j]); dp[i] = min(dp[i], dp[j] + max_height); } } return dp[n]; } int main() { // 示例输入 vector<int> heights = {3, 4, 2}; vector<int> widths = {6, 5, 8}; int shelfWidth = 10; int result = minTotalHeight(heights, widths, shelfWidth); cout << "Minimum total shelf height: " << result << endl; return 0; } ``` ### 实现说明 - `heights` 和 `widths` 分别表示每本书的高度和宽度。 - `shelfWidth` 是书架的宽度限制。 - `dp[i]` 记录了前 `i` 本书的最小总高度。 - 内层循环用于尝试不同的分段方式,计算当前层的最大高度,并更新 `dp[i]`。 ### 时间复杂度 - 该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$,其中 $n$ 是书籍的数量。 - 对于较小的数据规模(如 $n \leq 1000$),该算法可以高效运行。 ### 优化思路 - 如果书籍数量较大,可以考虑使用单调队列或分治优化动态规划。 - 预处理 `max_height` 和 `total_width` 可以进一步优化性能。
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