POJ1090,生日蛋糕，dfs，经典的剪枝

最新推荐文章于 2020-07-15 14:16:34 发布

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针对一个特定的生日蛋糕设计问题，需要制作一个体积为Nπ的M层蛋糕，并且每层都是圆柱形，要求从下往上每层的半径和高度依次递减。目标是最小化蛋糕外表面的面积，通过剪枝算法来寻找最优解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

生日蛋糕

Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。
令Q = Sπ
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。
（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

Hint

圆柱公式
体积V = πR²H
侧面积A' = 2πRH
底面积A = πR²

分析：

一共三个剪枝，一个是当前面积加上剩余层数可能的最小面积大于最优解，一个是当前体积加上剩余层数的最小体积大于给出的体积，最终要的一个看了discuss里的分析,,,

原文如下...

http://poj.org/showmessage?message_id=173754

2*leftVolume/r+currentS>=min

currentS代表“已有的圆柱的侧面积之和+最底下圆柱的横截面面积”。min代表已得到的最小表面积。

假设只有一个圆柱，该圆柱的半径为r,体积为leftVolume，那么根据体积和表面积公式，可知：2 * leftVolume/r 是该圆柱的侧面积。

现在我们有2个圆柱，要求这两个圆柱叠在一起之后满足题目的条件：下柱半径>上柱半径。把上柱压扁，压到和下柱的半径相等，那么根据表面积和体积公式，我们知道上柱的侧面积会减小。

多个圆柱叠立，假设最下面圆柱半径最大，该半径为r。于是，这些圆柱的侧面积之和>=等体积的半径为r的圆柱的侧面积。

回到该剪枝。假设还有k层柱要搜索，leftVolume是剩余体积，r是第k层的圆柱的最大可能半径。那么2*leftVolume/r<=k层圆柱的最小侧面积之和。

所以，当2*leftVolume/r+currentS>=min时，就没必要再往下搜了。

code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAX 65535
using namespace std;
int m,n,minv[21],mins[21],best;
void dfs(int v,int s,int floor,int r,int h)
{
    if(floor==0)
    {
        if(v==n&&s<best) best=s;
        return;
    }
    if(v+minv[floor-1]>n||s+mins[floor-1]>best||2*(n-v)/r+s>best) return;
    int i,j,tmp;
    for(i=r-1;i>=floor;i--)
    {
        if(floor==m) s=i*i;
        tmp=(n-v-minv[floor-1])/(i*i)<h-1?(n-v-minv[floor-1])/(i*i):h-1;
        for(j=tmp;j>=floor;j--)
         dfs(v+i*i*j,s+2*i*j,floor-1,i,j);
    }
}
int main()
{
    minv[0]=0;
    mins[0]=1;
    for(int i=1;i<21;i++)//找出i层时可能的最小体积，最小面积
    {
        minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;
        mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;
    }
    scanf("%d%d",&n,&m);
    best=MAX;
    dfs(0,0,m,n+1,n+1);
    if(best==MAX) printf("%d\n",0);
    else printf("%d\n",best);
    return 0;
}