[小白算法入门] E.夜游江滩 算法题解

StarryCoding入门教育赛 3
比赛链接：https://www.starrycoding.com/contest/8

题目描述

$e$宝和桶子晚上吃太饱没事做决定到江边散步减肥，他们在江滩的起始点（位置为$0$），要走到江滩的尽头（位置为$n$），由于他们腿特别长，一步可以走$1,k,k^2,k^3...$的距离，他们想知道走到尽头一共有多少种走法。

最后的结果对$10^9+7$取模。

输入格式

第一行一个整数$T(1\le T\le 100)$表示样例个数。

对于每一个样例：

第一行两个整数$n,k(1\le n,k\le 10^5)$。

数据保证$\sum n\le 3\times 10^5$。

输出格式

对于每组测试样例，一个整数表示结果。

输入样例1

2
3 2
5 3

输出样例1

3
4

解释

对于第二组样例，有{1,1,3},{1,3,1},{3,1,1},{1,1,1,1,1}\{1, 1, 3\}, \{1, 3, 1\}, \{3, 1, 1\}, \{1, 1, 1, 1, 1\}{1,1,3},{1,3,1},{3,1,1},{1,1,1,1,1}四种走法。

题解

这是一道dp题。

定义$dp[i]$表示从$0$走到$i$的方案数。

初始化$dp[0]=1$。

状态转移方程为：$dp[i]={\sum }_{j=0}[k^j\le i]dp[j]$。

最后输出$dp[n]$。

每次转移时间复杂度为$O(log(i))$，于是总复杂度为$O(nlogn)$。

注意特判$k=1$的情况。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e5 + 9;
ll dp[N];
const ll p = 1e9 + 7;

void solve()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    if(k == 1)
    {
        cout << 1 << '\n';
        return;
    }
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        dp[i] = 0;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (ll j = 1; j <= i; j *= k)
        {
            dp[i] = (dp[i] + dp[i - j]) % p;
        }
    }
    cout << dp[n] << "\n";
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int _;
    cin >> _;
    while (_--)
        solve();
    return 0;
}

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