Codeforces 1646C Factorials and Powers of Two

原创已于 2022-04-11 21:59:57 修改 · 298 阅读

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#算法

于 2022-04-11 21:59:17 首次发布

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博客探讨了一种利用状态压缩和枚举方法解决将整数表示为2的幂次与阶乘之和的问题。通过预处理阶乘数组并枚举所有可能的状态，减去相应的阶乘值，然后检查剩余值是否可以进一步分解，找到使得阶乘数量与1的个数之和最小的解决方案。代码示例展示了具体的实现细节。

0x10 题目链接

cf 1646c

0x20 题目

0x21 Tag

状态压缩，枚举

0x22 题目描述

在这里插入图片描述

0x23 翻译

给出一个数n,是否能将其拆解成多个**(共k个)**2的幂次与阶乘的和，求k的最小值。

0x30 思路与算法

首先肯定有解，因为整数一定能被二进制表示。其中数据范围是 $1 e 12 (< 15!)$ ,该数字最多是15个阶乘的和 $(1! + 2! + . . . 15!)$ ,我们想到可以用状态压缩的方法去解是否该加和中选用了某些阶乘（例如0…11100说明只选用了3!,4!,5!）。
枚举每一种状态，在原数的基础上减去这些阶乘的加和，对于差再拆解成二进制的形式（有几个1）。这样答案就为选用阶乘的数量 $c n t$ 与差二进制1的个数加和的最小值。
$ans=Min(ans,cnt+get\_one(i))$

0x40 代码

0x41 实现细节

fact[3]=6;
	for(int i=4;i<=15;++i)
		fact[i]=fact[i-1]*i;

这里预处理了阶乘的结果，需要注意的是：1，2与二进制相冲突，我们只保留二进制中的即可（从fact[3]开始预处理）。

for(int i=0;i<MAXS;++i)
		{
			int cnt=0ll;
			ll tmp=n;
			for(int j=0;j<=15;++j)
			{
				if((i>>j)&1) 
				{
					tmp-=fact[j];
					cnt++;
				}
			}
			if(tmp>=0)
			{
				ans=min(ans,cnt+get_one(tmp));
			}
		}

这里枚举了所有的状态，需要注意的是我们被减数的结果不能小于0。在大于0的情况下，接着拆解差二进制的1即可。

0x42 完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXS=1<<15;
ll fact[22];
ll get_one(ll x)
{
	ll cnt=0ll;
	while(x)
	{
		if(x&1)
			cnt++;
		x>>=1;
	}
	return cnt;	
}
int main()
{	
 
	fact[3]=6;
	for(int i=4;i<=15;++i)
		fact[i]=fact[i-1]*i;
	
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		ll n;
 
		cin>>n;
		ll ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
 
		for(int i=0;i<MAXS;++i)
		{
			int cnt=0ll;
			ll tmp=n;
			for(int j=0;j<=15;++j)
			{
				if((i>>j)&1) 
				{
					tmp-=fact[j];
					cnt++;
				}
			}
			if(tmp>=0)
			{
				ans=min(ans,cnt+get_one(tmp));
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
 
	}
	return 0;
}