优化问题综述(一)无约束最优化问题的解法中用于神经网络的常见算法

优化问题是解决形如

$$min_x g(x)+h(x),s.t.,x\in X$$

的问题，$g(x)$是损失函数，$h(x)$是正则化约束，$X$是可行域。
我们令$f(x)=g(x)+h(x)$，对$f(x)$已知信息的多少可把这个问题分为

• 2阶问题：已知$f(x)$的函数值、1阶、2阶导数（值、梯度、hessen矩阵）
• 1阶问题：已知$f(x)$的函数值、1阶导数（值、梯度）
• 0阶问题：只知道$f(x)$的函数值（值）
• -1阶问题：只知道$f(x)$的估计值$F[f(x),\xi]$

当可行域$X$为整个空间时，优化问题被成为无约束的最优化问题；当可行域$X$受到限制时，优化问题被成为有约束的最优化问题。

无约束最优化问题的解法

我们希望得到$min_x f(x)$，我们把$f(x)$泰勒展开可得

$$f(x+\Delta)=f(x)+\nabla f(x)^T\Delta+\Delta^T \nabla^2 f(x)\Delta+O(\Delta^3)$$

1阶问题中用于神经网络的常见算法

当$\nabla f(x)$已知时，我们可知，将$x$往与$\nabla f(x)$相反的方向走一小步$\Delta$，$f(x+\Delta)$会下降，那么我们可以得到递推公式

$$x_{t+1}=x_t-\eta\nabla f(x_t)$$

$\eta$为步长大小。观察递推公式，我们可知可以从步长$\eta$和梯度$\nabla f(x_t)$进行优化。

Gradient Descent Optimizer

tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate, name=’GradientDescent’)

最朴素的算法，直接利用梯度递推公式进行优化，步长可为定值或指数衰减。
他的缺点很明显：

• 很难选择出合适的学习率
• 相同的学习率并不适用于所有的参数
• 在神经网络中，非凸问题关键是要避免陷入局部最小值或自鞍点，梯度下降法并不能很好的解决

Momentum Optimizer

tf.train.MomentumOptimizer(learning_rate, momentum, use_nesterov=False, name=’Momentum’)

添加上步的更新分量到当前，可以一定程度上避免陷入局部最小值或自鞍点。直观的理解就是给运动加上了惯性。与梯度下降相比，加速收敛，提高精度(减少收敛过程中的振荡)。递推公式为

$$V(t)=\gamma V(t-1)+(1-\gamma)\nabla f(x_t)$$

$$x_{t+1}=x_t-\eta V(t)$$

$\gamma$一般设置为0.9。

Nesterov Momentum Optimizer

tf.train.MomentumOptimizer(learning_rate, momentum, use_nesterov=True, name=’Momentum’)

添加上步的更新分量到当前，并预测下一时刻的动量来修正。递推公式为

V(t)=γV(t−1)+(1−γ)∇f(xt−