《Thinking In Algorithm》13.详解动态规划问题

1. 什么是动态规划

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dynamic programming is a method for solving complex problems by breaking them down into simpler subproblems. (通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法)

咦，这不就是分而治之法吗？不，虽然它们的目的是一样的，但它们分解的子问题属性不同。

• 分而治之将问题划分为互不相交的子问题。
• 动态规划不同，动态规划应用于子问题重叠情况，即不同的子问题具有公共的子子问题。

动态规划解决的问题必须具备三个属性：最优子结构性质，无后效性，子问题重叠性质。

• 最优子结构：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
• 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
• 重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

动态规划背基本思想：大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。 通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量： 一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。 这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。

2. 流水线调度问题

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1. Characterize the structure of an optimal solution.           (分析最优解的性质，并刻画其结构特征)
2. Recursively define the value of an optimal solution.      (递归的定义最优解)
3. Compute the value of an optimal solution in a bottom-up fashion.       (以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值)
4. Construct an optimal solution from computed information.       (根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解)

下面就根据算法导论上的流水线调度的例子来详解。

问题：有两条流水线，每条流水线分别有多个工作站，两个流水线的对应的同一个工作站之间可以传输要加工的产品，但需要一定时间记为t_i,j，但单条流水线站之间传输要加工的产品时间可以忽略不计。现在要求工作一个产品所需要的最短时间。流程如下图。

e代表产品进入不同流水线的时间，a代表不同站加工产品所需时间，t代表不同流水线的不同站传递产品的时间。

分析：看题目中的图可能不够清楚，我们拿出一个有具体时间的图来分析。如下图：

图中带有阴影部分的箭头代表最优解。那么他们是怎样得出来的呢。下面我们就利用动态规划的步骤来解决这个问题。

2.1 构造最优解结构

我们从起点开始分析，首先 我们会选择哪条流水线开始呢，有人会说那肯定是第一条流水线开始啊，因为2+7<4+8.但其实并不是这样，算法导论这个例子举的不好，很容易产生这样的误解。其实不一定选择这条路径，因为你要保证下一条也时间最短，假设S11-S22的时间不是2是4的话，那么选择从第一条流水线开始就是错误的，因为2+7+4>4+8,这样就是第二条流水线到达S22的时间更快。(如果你觉得我这里说的混乱的话可以跳过这一段，没太大影响)。

知道这一点之后，我们继续。我们分别记录下达到S11和S21的时间，然后选择下一站，到达S12的路径有两条，到达S22的路径也有两条。我们就是分别从两条中选出最快的哪条作为到达S12和S22的最短时间存入表中。。。。这样一直走到末尾。

那么就可以把问题简化为计算通过S_1,j 和S_2,j  的最短时间路径：

我们知道到达S_1,j 站的的路径只有两条：

• the fastest way through station S_1,j-1 and then directly through stationS_1,j, or

• the fastest way through station S_2,j-1, a transfer from line 2 to line 1, and then through stationS_1,j.

同理到达S_2,j 的路径也只有两条：

• the fastest way through station S_2,j-1 and then directly through stationS_2,j, or

• the fastest way through station S_1,j-1, a transfer from line 1 to line 2, and then through stationS_2,j.

我们要做的工作就是分别得出两个站的最短时间，然后存入表中。