NYOJ 16 矩形嵌套（DAG上的DP）

最新推荐文章于 2019-03-02 15:53:43 发布

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本文探讨了如何使用图论和记忆化搜索解决矩形嵌套问题，以找出包含最多矩形的最长路径。通过构建二元关系图，实现高效地识别最优解。

矩形嵌套

描述

有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

输入

第一行是一个正正数N(0<N<10)，表示测试数据组数，每组测试数据的第一行是一个正正数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)。随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽。

样例输入

1 2

2 4

5 8

6 10

7 9

3 1

5 8

12 10

9 7

2 2

样例输出

【思路分析】

该题重点在于抽象的过程。矩形之间的嵌套关系实质上就是一个二元关系（类似于两个数之间的大小关系），二元关系可以用图来表示。嵌套关系是“有方向”的，而且这个嵌套关系没有对称性（题意明确说明），即建立的这个有向图是无环的，因此该题转换为求DAG上的最长路径问题。

首先根据各个矩形之间的长宽关系建立DAG，再用记忆化搜索将矩形i能嵌套的最多矩形数记录在数组d中，最后输出数组d中的最大值即可。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int n,ans;
int d[maxn];//记忆化数组，表示到顶点i的最长路径，即矩形i包含的最大矩形数
int DAG[maxn][maxn];
struct Rectangle
{
    int length,width;
}rectangle[maxn];

void creatGraph()
{
    memset(DAG,0,sizeof(DAG));
    for(int i = 0;i < n;i++)
    {
        for(int j = 0;j < n;j++)
        {
            if(rectangle[i].length > rectangle[j].length && rectangle[i].width > rectangle[j].width)
            {
                DAG[i][j] = 1;//矩形i包含矩形j,建立二元关系，即i到j的有向边
            }
        }
    }
}
int dp(int i)//记忆化搜索
{
    int ans = d[i];
    if(ans > 0)
        return ans;
    ans = 1;
    for(int j = 0;j < n;j++)
    {
        if(DAG[i][j])
        {
            int temp = dp(j);
            ans = ans > (temp + 1) ? ans : (temp + 1);
        }
    }
    return d[i] = ans;
}
void init()
{
    ans = 0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0;i < n;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        rectangle[i].length = a > b ? a : b;
        rectangle[i].width = a < b ? a : b;
    }
    creatGraph();
    memset(d,0,sizeof(d));
}
void solve()
{
    for(int i = 0;i < n;i++)
    {
        int temp = dp(i);
        ans = ans > temp ? ans : temp;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}